题目：棒球最佳击球点的探究
摘要
本文对棒球的“最佳击球点”进行了研究，给出了“最佳击球点”的位置，并在此基础上论证了球棒上添加填充物、不同材料球棒对“最佳击球点”的影响。
问题一,首先确定球棒的外部特征，做出几何图形，对其定量描述。然后根据棒球的击球方式，找出其中的物理规律，运用动量守恒定理、角动量守恒定理以及恢复系数建立刚体动力学模型，推导出击打后球的速度表达式：
v末?v初?I(1?e)[v初??初((r?0.564)?R1)]I?m球((r?0.564)?R1)2
带入数据，得到普通木质球棒的“最佳击球点”为距棒手柄端点70cm处。
问题二,添加填充物后引起了球棒的物理性质的变化，本文从球棒的质量、质心、转动惯量的变化出发，分析了添加填充物对击球效果的影响，得到“添加填充物降低了棒球的速度”的结论。
问题三，本问主要考虑不同的材质导致球棒的物理性质的改变，本文中着重分析了转动惯量和恢复系数的不同对击球效果的影响，得到“铝质”球棒能显著提高击球效果，并
且会导致体育“装备竞赛”的误区，因此棒球协会禁止铝棒的使用是合理的。
在上述问题的基础上，本文考虑击球时存在机械震动的客观事实，通过力学的Hertz模型和振动力学的横向振动梁模型，分别从能量传递和振动主振型的固有频率两个方面定性的对不同材质的球棒对球速的影响进行了分析，得出铝制球棒更有利于击出高速球的结论。
关键词：动量守恒 恢复系数 转动惯量 动力学模型 Hertz模型
一、问题重述
在所有的球类运动中，棒球运动中蕴含了丰富的物理学原理，棒球棒上的“最佳击球点”就是一个典型的例子。通过查找相关的资料，建立相关数学模型，解决以下问题：
(1)每一个棒球手都知道在棒球棒比较粗的部分有一个击球点，这里可以把打击球的力量最大程度地转移到球上。基于力矩的解释或许可以确定棒球棒的最末端就是最佳击球点，但是实际中并不是这样的。构建模型，解释最佳击球点棒球棒的最末端的原因。
(2)有一些棒球手相信在最佳击球点填充软木塞可以提高打击效果（在球棒头部挖一个圆柱状槽，填充软木塞或者橡皮）。进一步扩展模型确定或否定该结论。解释为什么棒球联盟否定这种做法。
(3)球棒的撞击效果可能与材质有关系，构建模型以预测木质和金属球棒的不同打击效果。解释这是否是联盟禁止金属球棒的原因。
二、模型假设
结合本题的实际，为了确保模型求解的准确性和合理性，我们排除了一些位置因素的干扰，提出以下几点假设： 1.球在飞行过程中不自旋。
2.球棒击球时,球的速度方向与球棒轴线正交。 3.球棒形状、尺寸、重量相同。
三、符号说明
为了便于问题的求解，我们给出以下符号说明：（其他未说明的符号在文中第一次出现时会做详细的说明。） e：恢复系数 C：重心位置
J：转动惯量 M：球棒重量
四、问题分析
“击球”是一个典型的物体与物体碰撞的问题。根据题目要求，构建模型解释“最
佳击球点”为什么不在球棒的最末端，在最佳击球点填充软木塞是否可以提高打击效果，以及不同材质的球棒对棒球是否会产生不同的打击效果。
首先需要明确的是“最佳击球点”的含义。通过对题目的了解，最佳击球点就是把打击球的力量最大程度地转移到棒球上。因此，在球棒上的最佳击球点可以看成相同情况下，球的离开球棒的速度。速度最大的那个位置，即：“最佳击球点”。将球、棒视为刚体，可以把“球—棒”视为一个系统，并把他作为研究对象建立经典动力学模型进行分析。通过查找相关的资料，在撞击瞬间手对棒施加的力对球棒的影响不大，可以近似为球棒是“自由端”。利用“动量守恒定理”、“角动量守恒定理”以及“恢复系数”等研究撞击位置与球离开速度的关系。即：v末?S。当S取一个值，使v末最大时；即得到最佳击打点。找出最佳击打点，将填充软木塞后的求出的最佳点与未填充的球棒进行对比而得出结论；在研究改变材料对击球效果的影响的时候，同样求出球棒的最佳击打点的位置以及棒球离开的最大速度相互进行比较，得出改变材料对击打球是怎样影响的。
在经典动力学模型用恢复系数来表示碰撞瞬间动能的突变，这样得到的结果是粗糙的。考虑球、棒碰撞时发生的形变，使用接触力学的理论，改进动力学模型，可以得到更精确的结果。
五、模型的建立与求解
经过以上的分析和准备，我们将逐步建立以下数学模型，进一步阐述模型的实际建立过程。
5.1 球棒外形的初步描述模型
文献表明，木质棒球球棒的一般规格为：
表1 棒球球拍的物理参数 参数 棒长L 棒重M 重心位置C 木质杨氏模量E 最大半径r 2数值 0.855m 0.885kg 距较小端面0.564m 1.814?1010N/m2 7cm 2.5cm 649kg/m3 最小半径r 1木质密度? 球棒为一种旋转体，沿轴线的截面如下：
图 1球棒沿轴线的截面