有限元法基础试题（A）
一、填空题（5×2分） 1.1单元刚度矩阵k?e??BTDBd?中，矩阵B为__________，矩阵D为___________。
1.2边界条件通常有两类。通常发生在位置完全固定不能转动的情况为_______边界，具体指定有限的非零值位移的情况，如支撑的下沉，称为_______边界。 1.3内部微元体上外力总虚功：
+?的表达??d?We?????x,x??xy,y?Fbx??u???xy,x??y,y?Fby??v?dxdy??x?u,x??y?v,y??xy??u,y??u,x??dxdy式中，第一项为____________________的虚功，第二项为____________________的虚功。 1.4弹簧单元的位移函数N1+N2=_________。
1.5 kij数学表达式：令dj=_____，dk=_____，k?j，则力Fi?kij。
二、判断题（5×2分）
2.1位移函数的假设合理与否将直接影响到有限元分析的计算精度、效率和可靠性。（ ） 2.2变形体虚功原理适用于一切结构（一维杆系、二维板、三位块体）、适用于任何力学行为的材料（线性和非线性），是变形体力学的普遍原理。 （ ） 2.3变形体虚功原理要求力系平衡，要求虚位移协调，是在“平衡、协调”前提下功的恒等关系。 （ ） 2.4常应变三角单元中变形矩阵是x或y的函数。 （ ） 2.5 对称单元中变形矩阵是x或y的函数。 （ ） 三、简答题（26分）
3.1列举有限元法的优点。（8分）
3.2写出有限单元法的分析过程。（8分）
3.3列出3种普通的有限元单元类型。（6分）
3.4简要阐述变形体虚位移原理。（4分）
四、计算题（54分）
4.1对于下图所示的弹簧组合，单元①的弹簧常数为10000N/m，单元②的弹簧常数为20000N/m，单元③的弹簧常数为10000N/m，确定各节点位移、反力以及单元②的单元力。（10分）
112450N2334
4.2对于如图所示的杆组装，弹性模量E为10GPa，杆单元长L均为2m，横截面面积A均为2×10-4m2，弹簧常数为2000kN/m，所受荷载如图。采用直接刚度法确定节点位移、作用力和单元②的应力。（10分）
1125kN2334LLk
4.3对称桁架如图（a）所示，杆单元弹性模量均为E，横截面面积均为A，单元长度如图，根据对称性，求图（b）的整体刚度矩阵。（12分）
yx3124yx3123253214L1L2PLP
（a） （b）
4.4如图所示的平面桁架，确定转换矩阵?T1?，并写出?T1??K??T1?（10分）
yx3L32T2L1Px'1y'
4.5确定下图所示梁的各节点位移。梁已按节点编号离散化。梁在节点1固支，节点2有滚柱支撑，节点3作用有垂直向下的力P=50kN。令沿梁弹性模量E=210GPa，I=12×10-4m4，梁单元长L=3m。弹簧常数k=200kN/m。（12分）
P121323k4LL
参考答案（A）：
一、填空题（5×2分）
1.1变形矩阵或应变矩阵 弹性矩阵或本构关系矩阵 1.2 齐次边界 非齐次边界
1.3 微元体上外力在随基点刚体平移所做虚功 外力在微元体变形虚位移上所做虚功 1.4 1 1 1.5 1 0 二、判断题（5×2分）
2.1 √ 2.2 √ 2.3 √ 2.4 × 2.5 √ 三、简答题（26分）
3.1答：优点有：①很容易地模拟不规则形状结构；②可以很方便地处理一般荷载条件；③由于单元方程是单个建立的，因此可以模拟由几种不同材料构成的物件；④可以处理数量不受限制和各类边界条件；⑤单元尺寸大小可以变化；⑥改变模型比较容易⑦可以包括动态作用⑧可以处理大变形和非线性材料带来的非线性问题。（8分）
3.2答：有限元方法的一般步骤有：①离散和选择单元类型；②选择位移函数；③定义应变位移和应力应变关系；④推导单元刚度矩阵和方程；⑤组装单元方程得出总体方程并引入边界条件；⑥求解未知自由度；⑦求解单元应变和位移；⑧解释结果。（8分）
3.3答：弹簧单元，杆单元，梁单元，轴对称单元，常应变三角单元，线应变三角形单元，四面体单元等。（任意上述三种均可）（6分）
3.4答：变形体虚位移原理：受给定外力的变形体处于平衡状态的充分、必要条件是，对一切虚位移，外力所作总虚功恒等于变形体所接受的总虚变形功。（4分） 四、计算题（54分）
4.1解：沿弹簧建立X坐标：
（A）每个弹簧单元刚度矩阵如下：
?10000??10000?0013?2??20000?200 k???k????k????00??1000010000???20000200?总体刚度矩阵：
K?k?1??k?2??k?3?
00??10000?10000??1000030000?20000?0? K???0?2000030000?10000???00?1000010000??（B）总体刚度矩阵方程：
00??d1x??F1x??10000?10000?F???1000030000?20000?d?0??2x???2x???????
??F0?2000030000?10000?d3x??3x????0?1000010000???F4x???0?d4x??边界条件：F2x?450N， F3x?0，d1x?0，d4x?0
解得：d2x?0.027m，d3x?0.018m，F1x??270N，F4x?180N （C）求单元2节点力
????20000?20000??d2x??f2x??????? ????f3x????2000020000??d3x???180N，f???180N 解得：f2x3x
4.2解：沿杆单元建立X坐标： （A）每个单元刚度矩阵如下：
k???k???12?1?AE?1?1?6?1N/m ?1?10????L??11???11??1?1?3k???2?106?? N/m
?11??总体刚度矩阵：
0?1?10???2?10?1??2??3?6??1? K?k?k?k K?1?10?0?13??2??0?22?0?（B）总体刚度矩阵方程：
?F1x??1?100??d1x??F??d??2?10??2x??2x?6??1??1?10????
??F0?13?2?3x??d3x?????00?22???F4x???d4x??边界条件：F2x?5000N， F3x?0，d1x?0，d4x?0
解得：d2x?0.003m，d3x?0.001m，F1x??3000N，F4x??2000N （C）单元②的应力
????1??d2x??f2x?6?1???1?10???d? ??11???3x??f3x?????2000N，f???2000N 解得：f2x3x?x
?2???2000f??10MPa 杆单元②受压 ?3x=
A2?10?4有限元法基础试题（B）
一、填空题（5×2分）
1.1整体刚度矩阵方程中节点荷载由两部分组成，一是__________，二是___________。 1.2常应变三角形单元的位移函数Ni+Nj+Nm=_________。
1.3最小势能原理与虚位移原理等价，一个是以_____的形式描述，另一个用____的形式表达。 1.4计算轴对称单元刚度矩阵有三种方法，一是采用数值积分，二是__________________，三是__________________。
1.5基本的三维单元是_____________。 二、判断题（5×2分）
2.1边界条件通常有两类。通常发生在位置完全固定不能转动的情况为非其次边界。（ ） 2.2线应变三角形单元中变形矩阵是x或y的函数。 （ ） 2.3杆单元的位移函数N1+N2=1。 （ ） 2.4单元刚度矩阵k?e??BTDBd?中，矩阵B为弹性矩阵，矩阵D为变形矩阵。 （ ）
2.5在梁单元中节点力与位移的方向规定应该是与材料力学中规定是一致的。 （ ）
三、简答题（26分）
3.1简述刚度矩阵的特性。（6分）
3.2写出位移函数的含义。（4分）
3.3写出推导弹簧单元刚度矩阵的分析过程。（7分）
3.4试列举三种有限元商用软件，并说明各自优点。（9分）
四、计算题（54分）
4.1对于下图所示的弹簧组合，单元①的弹簧常数为2000N/m，单元②的弹簧常数为2000N/m，节点3处位移δ为0.01m，确定各节点位移、单元力和反力。（10分）
11223F3
4.2如图所示的杆单元，杆单元弹性模量为E，杆单元长为L，横截面面积为A，试分别计算（a）、（b）总体x-y坐标下的刚度矩阵。（10分）