§7.3 基本不等式及其应用
会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题． 最新考纲
探索并了解基本不等式的证明过程.2.
1
1.
1．基本不等式：ab≤
a＋b2
(1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0. (2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号．2．几个重要的不等式 (1)a2
＋b2
≥2ab(a，b∈R)． (2)b＋aab≥2(a，b同号)． (3)ab≤??a＋b?2??2?
(a，b∈R)．
(4)
a2＋b2≥?
?a＋b?2??2
2
?
(a，b∈R)． 以上不等式等号成立的条件均为a＝b.
2
3．算术平均数与几何平均数 设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为
a＋b2
，几何平均数为ab，基本不等式可叙述为两个
正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 4．利用基本不等式求最值问题 已知x>0，y>0，则
(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值2p.(简记：积定和最小) (2)如果和x＋y是定值p，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值.(简记：和定积最大)
4
p2
概念方法微思考
1．若两个正数的和为定值，则这两个正数的积一定有最大值吗？
提示 不一定．若这两个正数能相等，则这两个数的积一定有最大值；若这两个正数不相等，则这两个正数的积无最大值．
3
1
2．函数y＝x＋的最小值是2吗？
x11
提示 不是．因为函数y＝x＋的定义域是{x|x≠0}，当x<0时，y<0，所以函数y＝x＋无
x最小值．
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数f(x)＝cosx＋4?π?cosx，x∈??0，2??的最小值等于4.( (2)“x>0且y>0”是“x＋yyx≥2”的充要条件．( × ) (3)(a＋b)2
≥4ab(a，b∈R)．( √ ) (4)若a>0，则a3
＋1a2的最小值为2a.( × )
(5)不等式a2＋b2
≥2ab与
a＋b2
≥ab有相同的成立条件．( (6)两个正数的等差中项不小于它们的等比中项．( √ ) 题组二 教材改编
2．设x>0，y>0，且x＋y＝18，则xy的最大值为( ) A．80B．77C．81D．82 答案 C
解析 ∵x>0，y>0，∴x＋y2
≥xy，
即xy≤?
?x＋y?2??2?
＝81，当且仅当x＝y＝9时，(xy)max
＝81.
)
)
x4
××3．若把总长为20m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________m. 答案 25
解析 设矩形的一边为xm，面积为ym，
1
则另一边为×(20－2x)＝(10－x)m，其中0 2∴y＝x(10－x)≤?2 2 ?x＋?10－x??2＝25， ?2?? 当且仅当x＝10－x，即x＝5时，ymax＝25. 题组三 易错自纠 1 4．“x>0”是“x＋≥2成立”的( ) xA．充分不必要条件 C．充要条件 答案 C 1 解析 当x>0时，x＋≥2 B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 xx·＝2. xxxx1 1111 因为x，同号，所以若x＋≥2，则x>0，>0，所以“x>0”是“x＋≥2成立”的充要条 x件，故选C. 5．若函数f(x)＝x＋ 1 (x>2)在x＝a处取最小值，则a等于( ) x－2 A．1＋2B．1＋3C．3D．4 答案 C 解析 当x>2时，x－2>0，f(x)＝(x－2)＋－2＝ 1 ＋2≥2x－2 ?x－2?×1 ＋2＝4，当且仅当xx－2 1 (x>2)，即x＝3时取等号，即当f(x)取得最小值时，x＝3，即a＝3，故选C. x－2 6．若正数x，y满足3x＋y＝5xy，则4x＋3y的最小值是( ) A．2B．3C．4D．5 答案 D 3x＋y31 解析 由3x＋y＝5xy，得＝＋＝5， xyyx1?31?所以4x＋3y＝(4x＋3y)·?＋? 5?yx?3y12x?1?＝?4＋9＋＋? xy?5? 5