2、与平面x?y?2z?6?0垂直的单位向量为 ?6{1,?1,2}； 6解 平面的法向量 n={1，-1，2}与平面垂直，其单位向量为n0=1?1?4=6，所以，与平面垂直的
单位向量为?
6{1,?1,2}． 63、过点(?3,1,?2)和(3,0,5)且平行于x轴的平面方程为 7y?z?5?0 ；
解 已知平面平行于x轴，则平面方程可设为 By?Cz?D?0，将点 (-3，1，-2)和(3，0，5)代入方程，
7?B??D,?71B?2C?D?0,5有 ? ?得 ?Dy?Dz?D?0，即 7y?z?5?0．
5C?D?0,155?C??D,
5?
?
4、过原点且垂直于平面2y?z?2?0的直线为
xy???z； 02解 直线与平面垂直，则与平面的法向量 n={0，2，-1}平行，取直线方向向量s=n={0，2，-1}，由于直线过原点，所以直线方程为
xy???z ． 02?z?2x2?y2,?2x2?y2?1,5、曲线?在xOy平面上的投影曲线方程为 ?
?z?1?z?0.?2x2?y2?1,解: 投影柱面为 2x?y?1，故 ?为空间曲线在xOy平面上的投影曲线方程．
?z?022
四、解答题:
1、 已知a?{1,?2,1}，b?{1,1,2}，计算(a) a?b； (b) (2a?b)?(a?b)； (c) a?b；
2i1j1k1?{?5,?1,3}. 2解: (a) a?b=1?2(b) 2a?b?{2,?4,2}?{1,1,2}?{1,?5,0}，a?b?{1,?2,1}?{1,1,2}?{2,?1,3}， 所以(2a?b)?(a?b)?{1,?5,0}?{2,?1,3}?7．
2(c) a?b?{1,?2,1}?{1,1,2}?{0,?3,?1}，所以a?b?(9?1)?10．
2
2、已知向量P终点为P2(?1,4,7)，试求：(1)向量P (2)向量P1(2,?2,5)，1P2的始点为P1P2的坐标表示；1P2的模；(3)向量P1P2的方向余弦； (4)与向量P1P2方向一致的单位向量．
解: (1) P}?{?3,6,2}；(2)P1P2?1P2?{?1?2,4?(?2),7?5(?3)2?62?22?49?7；
(3) P1P2在x,y,z三个坐标轴上的方向余弦分别为cos???,cos???(4)(PP)?123762,cos??； 77P1P2P1P2??3i?6j?2k362??i?j?k．
77773、设向量a??1,?1,1?，b??1,1,?1?，求与a和b都垂直的单位向量.
i1j1解： 令c?a?b?1?11?11?1??0,2,2?，c0?c??0,,?，
c22???1k故与a、b都垂直的单位向量为?c0???0,??11?,?. 22?
?????4、向量d垂直于向量a?[2,3,?1]和b?[1,?2,3]，且与c?[2,?1,1]的数量积为?6，求向量d
??????解： d垂直于a与b，故d平行于a?b，存在数?使
d??a?b??[2,3,?1]?[1,?2,3]?[7?,?7?,?7?]
????????3因d?c??6，故2?7??(?1)?(?7?)?1?(?7?)??6， ???7?d?[?3,3,3].
5、求满足下列条件的平面方程：
(1)过三点P3(3,0,4)；(2)过x轴且与平面5x?2y?z?0的夹角为1(0,1,2)，P2(1,2,1)和Pπ． 3x?0解 (1)解1： 用三点式．所求平面的方程为1?0y?1z?22?11?2?0，即x?5y?4z?13?0． 0?14?23?0解2： 用点法式．P1P2?{1,1,?1}，P1P3?{3,?1,2}，由题设知，所求平面的法向量为
in?P1P2?P1P3?1j1k?1?i?5j?4k， 23?1又因为平面过点P1(0,1,2)，所以所求平面方程为(x?0)?5(y?1)?4(z?2)?0，即
x?5y?4z?13?0．
解3： 用下面的方法求出所求平面的法向量n?{A,B,C}，再根据点法式公式写出平面方程也可． 因为n?P1P2,n?P1P3，所以
A?B?C?0,?3A?B?2C?0,解得B??5A,C??4A，于是所求平面方程为
A(x?0)?5A(y?1)?4A(z?2)?0，即 x?5y?4z?13?0．
（2）因所求平面过x轴，故该平面的法向量n?{A,B,C}垂直于x轴，n在x轴上的投影A?0，又平面过原点，所以可设它的方程为By?Cz?0，由题设可知B?0（因为B?0时，所求平面方程为Cz?0又C?0，即z?0．这样它与已知平面5x?2y?z?0所夹锐角的余弦为
0?5?0?2?1?102?02?12(5)2?22?12?1π1C，令?C?，则有y?C?z?0，由题设得 ?cos?，所以B?0）
B32100?5?1?2?C??1?， cos?22222230?1?C?(5)?2?1解得C??3或C???
6、 一平面过直线?1，于是所求平面方程为y?3z?0或3y?z?0． 3?x?5y?z?0,且与平面x?4y?8z?12?0垂直，求该平面方程；
x?z?4?0?解法1： 直线??x?5y?z?0,44在平面上，令x=0，得 y??，z=4，则（0，-，4）为平面上的点．
55?x?z?4?0设所求平面的法向量为n={A,B,C}，相交得到直线的两平面方程的法向量分别为 n1={1，5，1}，n2={1，0，
ijk-1}，则直线的方向向量s=n1?n2=151={-5，2，-5}，由于所求平面经过直线，故平面的法向量与直线
10?1的方向向量垂直，即
s?n={-5，2，-5}?{A,B,C}=?5A?2B?5C=0，
因为所求平面与平面x?4y?8z?12?0垂直，则{A,B,C}?{1,?4,?8}=A?4B?8C=0，解方程组
?A??2C,5A?2B?5C?0, ? ??B??5C, A?4B?8C?0,??254所求平面方程为 ?2C(x?0)?C(y?)?C(z?4)?0，即4x?5y?2z?12?0．
25?解法2： 用平面束（略）
7、求既与两平面?1:x?4z?3和?2:2x?y?5z?1的交线平行，又过点(?3,2,5)的直线方程.
解法1：n1??1,0,?4?，n2??2,?1,?5?，s?n1?n2???4,?3,?1?，从而根据点向式方程，所求直线方程为
x?3y?2z?5x?3y?2z?5，即. ?????4?3?1431解法2：设s??m,n,p?，因为s?n1，所以m?4p?0；又s?n2，则2m?n?5p?0，可解
m?4p,n?3p，从而p?0．根据点向式方程，所求直线方程为
x?3y?2z?5x?3y?2z?5??，即. ??4p3pp431解法3：设平面?3过点(?3,2,5)，且平行于平面?1，则n3?n1??1,0,?4?为?3的法向量，从而?3的方程为1?(x?3)?0?(y?2)?4?(z?5)?0，即x?4z?23?0．同理，过已知点且平行于平面?2的平面?4的方程为2x?y?5z?33?0．故所求直线的方程为?
8、 一直线通过点A(1,2,1)，且垂直于直线L:程；
解： 设所求直线的方向向量为s?{m,n,p}，因垂直于L，所以3m?2n?p?0；又因为直线过点A(1,2,1)，
?x?4z?23?0．
?2x?y?5z?33?0x?1yz?1，又和直线x?y?z相交，求该直线方??321??x?1y?2z?1??则所求直线方程为 ，联立?mnp??x?1y?2z?1??,①mnp x?y?z,②3m?2n?p?0,③?x?1??m,x?1y?2z?1?????，则有?y?2??n,代入方程②有1??m?2??n, 由①，令
1??m?1??p,mnp?z?1??p,??可得m?p，代入③解得n??2p， 因此，所求直线方程为
9、 指出下列方程表示的图形名称：
(a) x?4y?z?1；(b) x?y?2z；(c) z?222222222x?1y?2z?1??． 1?21x2?y2；
?z?x2?y2(d) x?y?0；(e) x?y?1； (f) ?．
?z?2解： (a) 绕y轴旋转的旋转椭球面．(b) 绕z轴旋转的旋转抛物面． (c) 绕z轴旋转的锥面．
(d) 母线平行于z轴的两垂直平面：x?y，x??y． (e) 母线平行于z轴的双曲柱面． (f) 旋转抛物面被平行于XOY面的平面所截得到的圆，半径为2，圆心在（0，0，2）处．
10、求曲面z?x?y与z?2?(x?y)所围立体在xOy平面上的投影并作其图形． 解： 将所给曲面方程联立消去z，就得到两曲面交线C的投影柱面的方程x?y?1，
222222?x2?y2?122所以柱面与xOy平面的交线C?:?所围成的区域x2?y2?1即为曲面z?x?y与
?z?0z?2?(x2?y2)所围立体在xOy平面上的投影(图略)．
复习题B
?)?1、设a?4，b?3，(a,b?6，求以a?2b和a?3b为邻边的平行四边形的面积.
解：A?(a?2b)?(a?3b)?a?a?3a?b?2b?a?6b?b
?)?5?4?3?1?30. ??3a?b?2a?b??5a?b?5a?bsin(a,b2
?). 2、设(a?3b)?(7a?5b)，(a?4b)?(7a?2b)，求(a,b解： 由已知可得：(a?3b)?(7a?5b)?0，(a?4b)?(7a?2b)?0即 7a?15b?16a?b?0，7a?8b?30a?b?0．
这可看成是含三个变量a、b及a?b的方程组，可将a、b都用a?b表示，即
2222?)?a?b?a?b?1，(a,b?)??. a?b?2a?b，从而cos(a,bab2a?b23
3、求与a?{1,?2,3}共线，且a?b?28的向量b．
解 由于b与a共线，所以可设b??a?{?,?2?,3?}，由a?b?28，得{1,?2,3}?{?,?2?,3?}?28， 即??4??9??28，所以??2，从而b?{2,?4,6}．