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中文摘要........................................................................................................................... 1 英文摘要........................................................................................................................... 1 一、引言........................................................................................................................... 2 二、随机变量及其分布................................................................................................... 2 （一）随机变量及其分布............................................................................................... 2
1．随机变量的概念.................................................................................................. 2 2．分布函数的定义.................................................................................................. 2 3．分布函数的性质.................................................................................................. 3 （二）离散型随机变量................................................................................................... 3
1．离散型随机变量及其分布的定义...................................................................... 3 2．分布列的基本性质.............................................................................................. 3 3．用分布函数判别离散型随机变量的一种方法.................................................. 5 （三）非离散型随机变量............................................................................................... 6
1．连续型随机变量及密度函数的定义.................................................................. 6 2．密度函数的性质.................................................................................................. 7 3．连续型随机变量分布函数的特征...................................................................... 8 4。非离散非连续的随机变量.................................................................................. 8 三、既不离散也不连续的随机变量及其判别............................................................... 9 （一）随机变量的判别................................................................................................... 9 （二）既不离散也不连续的随机变量的判别............................................................... 9 （三）考研中常见的非离散非连续的随机变量示例................................................. 11 四、结束语..................................................................................................................... 13 参考文献......................................................................................................................... 13
既不离散也不连续的随机变量
彭惠敏
摘要：通过对随机变量进行分类，借助离散型、连续型随机变量的分布函数、性
质、数字特征及其必要条件的讨论，给出了判别既不离散也不连续的随机变量的方法，即用离散型和连续型随机变量分布函数必要条件的逆否命题加以判别，文中给出了大量例证，并给出了近几年考研中遇到的此类题目，使初学者对随机变量的分类有更为深刻的理解。
关键词：离散型随机变量；连续型随机变量；既不离散也不连续的随机变量；
分布函数
Neither Discrete Nor Continuous Random Variable
Peng Hui-min
Abstract: Through the study of the classification of random variables and the discussion of the distribution function, the nature, the digital characteristics, as well as the necessary conditions of both discrete and continuous random variable, this paper demonstrates the means of discriminating the neither discrete nor continuous random variable, that is, by virtue of the converse-negative proposition of the necessary conditions of the two variables’ distribution function. A large number of examples and examination questions of this kind appeared in the recent few years of postgraduate entrance exams are given so as to render an in-depth understanding of the classification of the random variables to the beginners.
Key words: discrete random variable; continuous random variable; neither discrete nor continuous random variable; distribution function
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一、引言
除了离散型随机变量和连续型随机变量之外，还有既不离散也不连续的随机变量，有的教科书上称“由于这种情况比较复杂，一般不对这种情况加以讨论”，所以很多教科书上根本不提及既不离散也不连续的随机变量，以至于初学者认为只有离散型和连续型两类随机变量，造成很大的误解。应该说，随机变量分为离散型和非离散型随机变量，在非离散型随机变量中有一类重要的随机变量是连续型随机变量，除此之外还有既不离散也不连续的随机变量。在我们所研究的随机变量中，主要有两类，这就是离散型随机变量和连续型随机变量。
二、随机变量及其分布 （一）随机变量及其分布
1．随机变量的概念
设E是随机试验，它的样本空间是??{?},如果对于每一个???都有一个实数和它相对应，这样就得到一个?上的实值函数X(?)，称X(?)为随机变量[1]。
随机变量按其取值情况可分为两类:离散型随机变量和非离散型随机量[2]。 如果随机变量X的所有可能取值为有限个或可列个，则称X为离散型随机变量。 非离散型随机变量的情况比较复杂，它的所有可能取值不能一一列举出来，其中的一种对于实际应用最重要、最广泛的称为连续型随机变量。 X是一个随机变量，如果存在(??,??)上的非负可积函数f(x)，使X的分布函数F(x)??连续型随机变量， f(x)是X的概率密度函数。
既不离散也不连续的随机变量，一般教科书都不详细介绍。这种随机变量不常用，概率分布不易表达，用分布列只能表示其离散的部分，用密度函数只能表示其连续的部分，只有通过其分布函数F(x)?P?X?x?才能将分布表达清楚，而分布函数是初学者的难点。 2．分布函数的定义
设X(?)为随机变量，对任意实数x，称
F(x)?P(X(?)?x)
x??则称X为f(t)dt，
为随机变量X(?)的分布函数。
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3．分布函数的性质
任意分布函数F(x)都有如下三条基本性质：
（1） 单调性 F?x?是定义在整个实轴上的单调非递减函数，即对任（??,??）意的x1?x2，有F(x1)?F(x2).
（2） 有界性 对任意的x，有0?F(x)?1，且
F(??)?limF(x)?0,
x???F(?)?limF(x)?1.
x??（3） 右连续性 F?x?是x的右连续函数，即对任意的x0，有
x?xlimF(x)?F(x0)
0?即
F(x0?0)?F(x0)
这三条基本性质成为判别某个函数是否成为分布函数的充要条件。
（二）离散型随机变量
1．离散型随机变量及其分布的定义
假如一个随机变量仅可能取有限个或可列个值，则称其为离散随机变量。 设X是一个离散随机变量，如果X的所有可能取值是x1,x2,?,xn,?,则称X取xi的概率
pi?p?xi??p?X?xi?,i?1,2,?,n? 为X的概率分布列或简称分布列，记为X分布列也可用如下列表方式来表示：
X P ?pi?.
? ? x1 p(x1) ?x1??p(x1)x2 p(x2) x2p(x2)xn p(xn) ?? ?? ? 或记成
xnp(xn)2．分布列的基本性质
i?（1）非负性 p(xi)?0,1,2, 3
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