学生序号 物理成绩 化学成绩 1 65 72 2 70 68 3 75 80 4 81 85 5 85 90 6 87 86 7 93 91 规定85分以上（包括85份）为优秀，从这7名同学中再抽取3名同学，记这3名同学中物理和化学成绩均为优秀的人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望．
【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列． 【分析】（Ⅰ）如果按照性别比例分层抽样，则从9名女生、12名男生，从中随机抽取一个容量为7的样本，抽取的女生为3人，男生为4人．利用组合数的意义即可得出．
（II）这7名同学中物理和化学成绩均为优秀的人数为3人，抽取的3名同学中1，2，3，=物理和化学成绩均为优秀的人数X可能取值为0，可得P（X=k）即可得出分布列与数学期望计算公式．
【解答】解：（Ⅰ）如果按照性别比例分层抽样，则从9名女生、12名男生， 从中随机抽取一个容量为7的样本，抽取的女生为3人，男生为4人．可以得到
个不同的样本．
（II）这7名同学中物理和化学成绩均为优秀的人数为3人，
抽取的3名同学中物理和化学成绩均为优秀的人数X可能取值为0，1，2，3， 则P（X=k）==
．
，可得P（X=0）=
，P（X=1）=
，P（X=2）=
，P（X=3）
，
其X分布列为： X P 0 1 2 3 数学期望E（X）=0+1×
+2×+3×=．
17．如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB∥DC，DA⊥AB，AB=AP=2，
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DA=DC=1，E为PC上一点，且PE=PC． （Ⅰ）求PE的长；
（Ⅱ）求证：AE⊥平面PBC； （Ⅲ）求二面角B﹣AE﹣D的度数．
【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．
【分析】（Ⅰ）利用勾股定理求出AC长，从而得到PC长，由此能求出PE． （Ⅱ）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明AE⊥平面PBC．
（Ⅲ）求出平面ABE的法向量和平面ADE的法向量，利用向量法能求出二面角B﹣AE﹣D的度数．
【解答】解：（Ⅰ）∵四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB∥DC，DA⊥AB，
AB=AP=2，DA=DC=1，E为PC上一点， 且PE=PC， ∴AC=∴PC=∴PE=PC=
==．
， =
，
证明：（Ⅱ）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，
则A（0，0，0），C（1，1，0），P（0，0，2），E（
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），B（2，0，0），
=（），=（2，0，﹣2），
=（1，1，﹣2），
=
=0，
=
=0，
∴AE⊥PB，AE⊥PC，
又PB∩PC=P，∴AE⊥平面PBC． 解：（Ⅲ）D（0，1，0），
=（2，0，0），
=（0，1，0），
=（
），
设平面ABE的法向量=（x，y，z）， 则
，取y=1，得=（0，1，﹣1），
设平面ADE的法向量=（a，b，c）， 则
，取a=1，得=（1，0，﹣1），
设二面角B﹣AE﹣D的度数为θ， 则cosθ=∴θ=60°，
∴二面角B﹣AE﹣D的度数为60°．
=
=．
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18．设Sn是数列{an}的前n项和，已知a1=1，an+1=2Sn+1（n∈N*）． （Ⅰ）求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）若
=3n﹣1，求数列{bn}的前n项和Tn．
【考点】数列的求和；数列递推式．
【分析】（I）由条件得an=2Sn﹣1+1（n≥2），与条件式相减可得即可得{an}为等比数列，从而求出通项公式；
（II）化简得bn=（3n﹣1）?3n﹣1，使用错位相减法求和即可． 【解答】解：（I）∵an+1=2Sn+1，∴an=2Sn﹣1+1，（n≥2）， 两式相减得：an+1﹣an=2an，即
=3．
=3，再验证
又n=1时，a2=2a1+1=3，∴
，
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∴{an}是以1为首项，以3为公比的等比数列． ∴an=3n﹣1．
（II）bn=（3n﹣1）an=（3n﹣1）?3n﹣1， ∴Tn=2?30+5?31+8?32+…+（3n﹣1）?3n﹣1，① ∴3Tn=2?31+5?32+8?33+…+（3n﹣1）?3n，② ∴﹣2Tn=2+32+33+34+…+3n﹣（3n﹣1）?3n =∴Tn=（
19．已知椭圆E：
+
=1（a＞b＞0）经过点（2
，1），且以椭圆短轴的两
﹣1﹣（3n﹣1）?3n=（﹣）?3n+．
）?3n﹣，
个端点和一个焦点为顶点的三角形是等边三角形． （Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）设P（x，y）是椭圆E上的动点，M（2，0）为一定点，求|PM|的最小值及取得最小值时P点的坐标． 【考点】直线与椭圆的位置关系． 【分析】（Ⅰ）由题意求得2b=a，将点（2和b的值，求得椭圆方程；
（Ⅱ）利用两点之间的距离公式，求得丨PM丨2=（x﹣2）2+y2，由P在椭圆上，则y2=4﹣
，代入利用二次函数的性质，即可求得|PM|的最小值及P点坐标．
，1），代入椭圆方程，即可求得a
【解答】解：（Ⅰ）由题意可知：2b=a， 将（2
，1）代入椭圆方程：
，
解得：b2=4，a2=16， ∴椭圆E的方程
；
（Ⅱ）由丨PM丨2=（x﹣2）2+y2，由P（x，y）在椭圆上，（﹣4≤x≤4）则y2=4﹣
，
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