习题课 指数函数、对数函数的综合应用
课后篇巩固提升
基础巩固
1.函数f(x)= 在[-1,0]上的最大值是( )
A.-1
B.0 C.1 D.3
-
解析函数f(x)= 在区间[-1,0]上是减函数,则最大值是f(-1)= =3. 答案D 2.函数f(x)=eA.(-∞,+∞) C.(-∞,1]
u|x-1|的单调递减区间是( ) B.[1,+∞) D.[0,+∞)
|x-1|解析因为y=e为增函数,u=|x-1|在(-∞,1]上单调递减,在[1,+∞)上单调递增,所以由复合函数“同增异减”法则可知函数f(x)=e答案C 3.函数f(x)=lo (x-4)的单调递增区间为( )
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的单调递减区间是(-∞,1].故选C.
A.(0,+∞) C.(2,+∞)
2
B.(-∞,0) D.(-∞,-2)
解析令t=x-4>0,可得x>2或x<-2.
故函数f(x)的定义域为(-∞,-2)∪(2,+∞),
当x∈(-∞,-2)时,t随x的增大而减小,y=lo t随t的减小而增大,所以y=lo (x-4)随x的
2
增大而增大,即f(x)在(-∞,-2)上单调递增.故选D. 答案D 4.已知函数f(x)= A. C.
- 满足对任意x1≠x2,都有 <0成立,则a的取值范围是( )
- -
B.(0,1) D.(0,3)
解析由于函数f(x)=
- 满足对任意的x1≠x2,都有 <0成立,所以该函数为R上的减
- -
- 解得0 答案A 5.已知y=loga(2-ax)在区间[0,1]上为减函数,则a的取值范围为( ) A.(0,1) C.(0,2) B.(1,2) D.[2,+∞) 解析由题设知a>0,则t=2-ax在区间[0,1]上是减函数. 因为y=loga(2-ax)在区间[0,1]上是减函数, 所以y=logat在定义域内是增函数,且tmin>0. 因此 - 故1 解析由题意可知,f(log4x)<0?- 7.一种专门占据内存的计算机病毒,开机时占据的内存为2 KB,如果每3 min自身复制一次,复制后所占据的内存是原来的2倍,那么开机后,该病毒占据64 MB(1 MB=2 KB)内存需要经过的时间为 min. 解析设开机tmin后,该病毒占据yKB内存, 由题意,得y=2× . 令y= =64×2,又64×2=2×2=2, 10 10 6 10 16 10 - 所以有 +1=16, 解得t=45. 答案45 8.已知函数f(x)=loga(x+1)(a>0,且a≠1),g(x)=loga(4-2x). (1)求函数f(x)-g(x)的定义域; (2)求使函数f(x)-g(x)的值为正数时x的取值范围. 解(1)由题意可知,f(x)-g(x)=loga(x+1)-loga(4-2x),要使函数f(x)-g(x)有意义, 则有 - 解得-1 故函数f(x)-g(x)的定义域是(-1,2). (2)令f(x)-g(x)>0,得f(x)>g(x), 即loga(x+1)>loga(4-2x). 当a>1时,可得x+1>4-2x,解得x>1. 由(1)知-1 当0 综上所述,当a>1时,x的取值范围是(1,2); 当0 (2)若对任意的t∈R,不等式f(t-2t)+f(2t-k)<0恒成立,求k的取值范围. 解(1)由f(x)是R上的奇函数,有f(x)=-f(-x)? - - 2 2 - 是奇函数. =- - - 对于任意实数x恒成立,解得a=2,此时 f(x)= . (2)我们先证明f(x)= 的单调性: 任取x1,x2∈R,且x1 由此结合奇偶性,我们有f(t-2t)+f(2t-k)<0,即f(t-2t) 2 2 2 2 - ∴t2-2t>k-2t2,即3 - -k>0. 要使上述不等式对t∈R恒成立,则需- -k>0,即k<- .故k的取值范围为 -∞ - . 能力提升 1.函数y=x·ln |x|的大致图象是( ) 解析函数f(x)=x·ln|x|的定义域(-∞,0)∪(0,+∞)关于原点对称,且f(-x)=-x·ln|-x|=-x·ln|x|=-f(x),所以f(x)是奇函数,排除选项B;当0 答案D 2.若函数f(x)=log2(x-ax+3a)在区间[2,+∞)上是增函数,则实数a的取值范围是( ) A.a≤ C.-4 B.a≤ D.- ≤a≤ 2