2020年上海市普陀区高考数学二模试卷(有答案解析)

8.答案:y=x

解析:解:由曲线C的参数方程圆的中心即圆心为(1,1),

因为直线l的方向向量=(1,1),所以直线l的斜率为1,

根据点斜式可得直线l的方程为:y-1=x-1,即y=x, 故答案为:y=x.

将曲线C的参数方程消去参数θ可得曲线C的普通方程,是一个圆,可得中心为圆心(1,1),根据直线l的方向向量得直线l的斜率,根据点斜式可得直线l的直角坐标方程. 本题考查了圆的参数方程,属中档题.

消去参数θ得(x-1)2+(y-1)2=4可得

9.答案:

解析:解:∵z=1+i是方程x2+cx+d=0(c、d均为实数)的一个根, ∴(1+i)+(1-i)=-c,(1+i)(1-i)=d, 则c=-2,d=2. 则|c+di|=|-2+2i|=. 故答案为:.

由已知可得(1+i)+(1-i)=-c,(1+i)(1-i)=d,求得c,d的值,再由复数模的计算公式求解.

本题考查实系数一元二次方程虚根成对原理的应用,考查复数代数形式的乘除运算,考查复数模的求法,是基础题. 10.答案:3π

解析:解:由题意可知几何体是放倒的圆柱,底面半径为1,左视图的面积为6,可得正视图是矩形,圆柱的高为3, 所以圆柱的体积为:12?π?3=3π. 故答案为:3π.

由题意求解圆柱的高,然后求解圆柱的体积.

本题考查三视图求解几何体的体积,画出直观图,转化求解是解题的关键. 11.答案:40

解析:解:画出可行域

又z=6x+8y可变形为直线y=-x+(即斜率为-在y轴上的截距为),

所以当该直线经过点A时z取得最大值, 且解得点A的坐标为(0,5),

5=40. 所以zmax=0+8×

故答案为:40.

先画出可行域,然后把z=6x+8y变形为直线y=-x+(即斜率为-在y轴上的截距为),再

画出其中一条y=-x,最后通过平移该直线发现当这类直线过点A时其在y轴上的截距

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最大,则问题解决.

本题考查画可行域及由可行域求目标函数最值问题,解题的关键是画出满足条件的区域图,属于基础题. 12.答案:0.3

解析:解:甲约乙下中国象棋,甲获胜的概率为0.6,甲不输的概率为0.9, 甲、乙和棋的概率为:P=0.9-0.6=0.3. 故答案为:0.3.

利用互斥事件概率加法公式直接求解.

本题考查概率的求法,考查互斥事件的概率加法公式等基础知识,考查运算求解能力,是基础题. 13.答案:12

解析:解:由a≥1,b≥1,c≥1,且abc=10,可得0≤lga≤1,0≤lgb≤1,0≤lgc≤1. ∴lg2a≤lga,lg2b≤lgb,lg2c≤lgc,

又alga?blgb?clgc≥10?lg(alga?blgb?clgc)≥lg10, 可得lg2a+lg2b+lg2c≥1=lgabc=lga+lgb+lgc, ∴lg2a=lga,lg2b=lgb,lg2c=lgc,

则a=10或1,b=10或1,c=10或1. 由对称思想,不妨a=10,则b=1,c=1. ∴a+b+c=12. 故答案为:12.

由已知可得0≤lga≤1,0≤lgb≤1,0≤lgc≤1,得到lg2a≤lga,lg2b≤lgb,lg2c≤lgc,由

alga?blgb?clgc≥10?lg(alga?blgb?clgc)≥lg10,可得lg2a+lg2b+lg2c≥1=lgabc=lga+lgb+lgc,从而得到lg2a=lga,lg2b=lgb,lg2c=lgc,由此得到a,b,c的值,则答案可求. 本题考查对数的运算性质,考查逻辑思维能力与推理运算能力,属中档题. 14.答案:2

解析:解:四棱锥P-ABCD中, 向量

设底面ABCD的法向量=(x,y,z),

则,取x=1,得=(1,4,),

∴顶点P到底面ABCD的距离为: d=

=

=2.

∴顶点P到底面ABCD的距离为2. 故答案为:2.

求出底面ABCD的法向量,由此能求出顶点P到底面ABCD的距离.

本题考查点到平面的距离的求法,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,考查数形结合思想,是中档题.

15.答案:arcsin

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解析:解:∵四面体ABCD为鳖臑,且AB⊥平面BCD,AB=BC=CD, ∴BC⊥DC,

以C为原点,CD为x轴,CB为y轴,过C作平面BDC的垂线为z轴,建立空间直角坐标系, 设AB=BC=CD=1,

则A(0,1,1),D(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,0),

=(1,-1,-1),平面ABC的法向量=(1,0,0),

设AD与平面ABC所成角为θ, 则sinθ=

==,

∴θ=arcsin,

∴AD与平面ABC所成角大小为arcsin. 故答案为:arcsin.

CD为x轴,CB为y轴,过C作平面BDC的垂线为z轴,推导出BC⊥DC,以C为原点,

建立空间直角坐标系,利用向量法能求出AD与平面ABC所成角大小.

本题考查线面角的求法,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,考查数形结合思想,是中档题. 16.答案:(-∞,-4)∪(0,+∞)

解析:解:根据题意,g(x)=f(x)-x2,且f(x)是定义在R上的偶函数, 则g(-x)=f(-x)-(-x)2=f(x)-x2=g(x),则函数g(x)为偶函数, f(x+2)-f(2)>x2+4x?f(x+2)-(x+2)2>f(2)-4?g(x+2)>g(2), 又由g(x)为增函数且在区间[0,+∞)上是增函数,则|x+2|>2, 解可得:x<-4或x>0,

即x的取值范围为(-∞,-4)∪(0,+∞); 故答案为:(-∞,-4)∪(0,+∞).

根据题意,分析可得g(x)为偶函数,进而分析可得f(x+2)-f(2)>x2+4x?f(x+2)-(x+2)2>f(2)-4?g(x+2)>g(2),结合函数的奇偶性与单调性分析可得|x+2|>2,解可得x的取值范围,即可得答案.

本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用,注意分析g(x)的奇偶性与单调性,属于基础题.

17.答案:解:(1)∵圆锥的顶点为P,底面中心为O,母线PB=4,

底面半径OA与OB互相垂直,且OB=2. ∴圆锥的表面积S=πr2+πrl=π×22+π×2×4=12π. (2)以O为原点,OA为x轴,OB为y轴,OP为z轴,建立空间直角坐标系, OP=

=2

),

则A(2,0,0),B(0,2,0),P(0,0,2

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=(2,0,-2),=(0,2,-2),

设平面PAB的法向量=(x,y,z),

则,取z=1,得=(,,1),

平面ABO的法向量=(0,0,1), 设二面角P-AB-O的大小为θ, 则cosθ=

==,∴θ=arccos.

∴二面角P-AB-O的大小为arccos.

解析:(1)圆锥的表面积S=πr2+πrl,由此能求出结果.

(2)以O为原点,OA为x轴,OB为y轴,OP为z轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出二面角P-AB-O的大小.

本题考查圆锥的表面积的求法,考查二面角的求法,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,考查数形结合思想,是中档题. 18.答案:解:(1)函数

=sinxcosx+cos2x-=sin2x-?

+=sin(2x-),

cos2x+

故它的周期为T=π. (2)当故函数的值域

时,2x-∈[-,],sin(2x-)∈[-1,],f(x)∈[-1,], .

令2x-=kπ,求得x=+,k∈Z,令k=0,可得函数的零点为

解析:(1)利用三角恒等变换化简函数的解析式,再利用正弦函数的周期性,得出结论.

(2)由题意利用正弦函数的定义域和值域、零点,求得函数f(x)的值域及零点. 本题主要考查三角恒等变换,正弦函数的周期性,定义域和值域,属于中档题.

19.答案:解:(1)由公司每年的燃料费为

取x=0,得

,则k=2400,

(k为常数)万元,

∴该公司安装太阳能板的费用与15年的燃料费之和为: y=15×(2)

+=

=+

+,x≥0; ≥2

=57.5,

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当且仅当,即x=55时取等号.

∴当x为55平方米时,y取得最小值为57.5万元.

解析:本题考查函数最值的应用,着重考查分析与理解能力,考查基本不等式的应用,是中档题. (1)由

,可求得k,从而得到y关于x的函数关系式;

(2)利用基本不等式即可求得y取得的最小值及y取得最小值时x的值.

20.答案:解:(1)求证:t=2时,2an+1=2an+1,∴an+1-an=,∴{an}是等差数列,首项为

2,公差为, ∴an=2+(n-1)×=

(2)t=3时,2an+1=3an+1,an+1=an+,∴an+1-1=(an-1),又a1-1=1, ∴数列{an-1}是首项为1,公比为的等比数列, ∴an-1=()n-1,∴an=()n-1-1, bn=|an+1-an|=×()n-1, b1+b2+b3+…+bk=

=1-()k,

=

=

≈9.097,

∴1-()k≥,得()k≤,∴k≥k的最小正整数值为10.

(3)t≠2时,由2an+1=tan+1得an+1=an+,得an+1-an-=(2-)?

n-1

=(an-)

,∴an=+(2-)?

n-1

∵an<an+1,∴{an}递增,∴2->0,且>1解得t<2且t≠0,

又因为t+1≥1,即t≥0,故t=1, ap+1、at+1、aq+1依次成等比数列

①若公比≠1,不妨设ap+1<at+1,则1≤p+1<t+1,即p=0,ap+1=2,at+1=a2=5,

,q不是整数,不成立.

②若公比为1,则ap+1=at+1=aq+1,∴p=t=q=1, 综上,p=t=q=1.

解析:(1)t=2时易证数列{an}满足等差数列的定义,即可求出通项公式. (2)构造含有an的数列为等比数列,即可求出an的通项公式,进而得到bn的通项公式,再将不等式

转化为Sk

即可求出k的最小正整数值.

(3)构造含有an的数列为等比数列,即可求出an的通项公式,再根据an<an+1,可以得到t的范围,最终确定t=1,ap+1、at+1、aq+1依次成等比数列时,分类讨论得到p,q

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