的值.
本题考查了等比数列,等差数列的定义和性质,考查构造法求数列的通项公式,分类讨论思想,综合性强,属于难题.
21.答案:解:(1)∵D(-4,2),∴2p=4,∴p=2,曲线方程为y2=4x, 2即y=±
,y′=±.
设A(x1,y1),B(x2,y2),其中y1>0,y2<0,则x1=,x2=, ∴切线PA的斜率为=,切线PB的斜率为-=,
故切线DA的方程为:y-y1=(x-x1),即y1y=2x-2x1+y12=2x+2x1, 切线DB的方程为:y2y=2x+2x2, ∵D(-4,2)在两切线上,∴
,
故A,B都在直线2y=-8+2x,即x-y-4=0上, ∴直线AB的方程为x-y-4=0, 联立方程组∴|AB|=
又D到直线AB的距离为d=∴S△DAB=
=
.
,消元得:x2-12x+16=0,∴x1+x2=12,x1x2=16,
=4
. =5
,
(2)证明:如下图所示,
设A(x1,y1),B(x2,y2),则直线AD的方程为y1y=p(x+x1), 即
,同理可得直线BD的方程为
,
联立直线AD和BD的方程,解得,
由于点D的纵坐标为y0,所以,,即y1+y2=2y0;
(3)设N(x3,y3),设A(x1,y1),B(x2,y2), 由题意得M(x1+x2,y1+y2),
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则MN的中点Q坐标为(kAB=
=
=,
,),
设直线AB的方程为y-y1=(x-x1), 由点Q在直线AB上,并注意到点(代入得y3=x3.
若N(x3,y3)在抛物线上,则y32=2px3, 因此y3=0或y3=2y0. 即N(0,0)或N(
,2y0).
,
)也在直线AB上,
①当y0=0时,则y1+y2=2y0=0,此时,点D(-2p,0)适合题意. ②当y0≠0,对于N(0,0),此时M(kMN=又kAB=
==, =,
,2y0),
由MN⊥AB, 所以kAB?kMN=?
=-1,
即y12+y22=-4p2,矛盾. 对于N(因为M(
,2y0). ,2y0),
此时直线MN平行于y轴, 又kAB=,
所以直线AB与直线MN不垂直,与题设矛盾, 所以y0≠0时,不存在符合题意的D点.
综上所述,仅存在一点D(-2p,0)适合题意.
解析:(1)求得抛物线方程,求得导数和切线斜率,可得切线方程,求得AB的方程和距离,由三角形的面积公式,可得所求值; (2)求得AD,BD的方程和交点,即可得证;
(3)设N(x3,y3),A(x1,y1),B(x2,y2),结合向量的坐标表示和(2)的结论,以及中点坐标公式和抛物线方程,可得N的坐标,讨论y0是否为0,结合题意,可得所求D的坐标.
本题考查抛物线的方程和性质,考查直线和抛物线的位置关系,以及向量的坐标表示,考查分类讨论思想和化简整理的运算能力,属于难题.
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