小中高 精品 教案 试卷
课时跟踪训练(三十七) 基本不等式及其应用
[基础巩固]
一、选择题
1．若a，b∈R，且ab>0，则下列不等式中，恒成立的是( ) A．a＋b>2ab 112C.＋>
2
2
B．a＋b≥2ab D.＋≥2
ababbaab[解析] ∵a＋b－2ab＝(a－b)≥0，∴A错误．对于B，C，当a<0，b<0时，明显错误．对于D，∵ab>0，∴＋≥2[答案] D
2．(2017·福建福州外国语学校期中)在下列各函数中，最小值为2的函数是( ) 1
A．y＝x＋(x≠0)
222
baabba·＝2. abxπ1?
0 2?cosx? x2＋3 C．y＝2(x∈R) x＋2 4xD．y＝e＋x－2(x∈R) e 1π [解析] 对于A项，当x<0时，y＝x＋≤－2，故A错；对于B项，因为0 12 ≥2中等号不成立，故B错；对于C项，因为x＋2≥2，所cosxx2＋＋112x以y＝＝x＋2＋≥2中等号也不能取到，故C错；对于D项，因为e>0，22 x＋2x＋2 4x所以y＝e＋x－2≥2 e [答案] D 3．(2017·陕西咸阳质检)已知x＋y＝3，则2＋2的最小值是( ) A．8 B．6 C．32 D．42 [解析] 因为2>0,2>0，x＋y＝3，所以由基本不等式得2＋2≥22·2＝223xy当且仅当2＝2，即x＝y＝时等号成立，故选D. 2 [答案] D 1 xyxyxyx＋yxy4xxe·x－2＝2，当且仅当e＝2，即x＝ln2时等号成立．故选D. e ＝42， 制作不易 推荐下载 小中高 精品 教案 试卷 11 4．(2017·湖南衡阳四校联考)设x，y为正实数，且x＋2y＝1，则＋的最小值为( ) xyA．2＋22 C．2 B．3＋22 D．3 112yx?11?[解析] 因为x，y为正实数，且x＋2y＝1，所以＋＝(x＋2y)·?＋?＝3＋＋≥3 xy?xy? xy＋22yx11 ·＝3＋22，当且仅当x＝2y＝2－1时取等号．所以＋的最小值为3＋22. xyxy故选B. [答案] B 21m5．(2017·江西九江一中期中)已知a>0，b>0，如果不等式＋≥恒成立，那么mab2a＋b的最大值等于( ) A．10 B．7 C．8 D．9 21 [解析] 不等式＋≥ abm?21?恒成立，即不等式m≤(2a＋b)·?＋?恒成立，而(2a＋2a＋b?ab? 2a2b·＝9，当且仅当a＝b时“＝”成立，所以m≤9，m的 2a2b?21?b)?＋?＝5＋＋≥5＋2 ba?ab? 最大值等于9，故选D. [答案] D ba6．(2015·陕西卷)设f(x)＝lnx,0 A．q＝r p [解析] ∵0 B．p＝r 1?a＋b?， r＝(f(a)＋f(b))，?2?2? a＋b2 >ab，又f(x)＝lnx在(0，＋∞)上单调递增，故 f(ab) ?a＋b?，即q>p，∵r＝1(f(a)＋f(b))＝1(lna＋lnb)＝lnab＝f(ab)＝p，∴p＝ ?22?2? r [答案] B 二、填空题 7．(2017·山东卷)若直线＋＝1(a>0，b>0)过点(1,2)，则2a＋b的最小值为________． [解析] ∵直线＋＝1(a>0，b>0)过点(1,2)， xyabxyab制作不易 推荐下载 2 小中高 精品 教案 试卷 12b4a?12?∴＋＝1，∴2a＋b＝(2a＋b)?＋?＝2＋＋2＋≥4＋2 ab?ab? abb4a·＝8(当且仅当b＝ab2a，即a＝2，b＝4时取等号)． [答案] 8 122 8．设b>a>0，且a＋b＝1，则，2ab，a＋b，b四个数中最大的是________． 2122 [解析] 根据基本不等式知a＋b>2ab(b>a>0)，因为b>a>0，且a＋b＝1，所以b>>a. 21222222 因为b－a－b＝b(a＋b)－a－b＝a(b－a)>0，所以，2ab，a＋b，b四个数中最大的是b. 2 [答案] b 9．(2017·江苏卷)某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是________． [解析] 本题考查基本不等式及其应用． 设总费用为y万元，则 y＝ 600?900?×6＋4x＝4?x＋?≥240. x?x? 900 当且仅当x＝，即x＝30时，等号成立． x[答案] 30 三、解答题 10．(1)已知a>0，b>0，c>0，且a＋b＋c＝1， 111 求证：＋＋≥9. abc11 (2)设a、b均为正实数，求证：2＋2＋ab≥22. ab[证明] (1)∵a>0，b>0，c>0，且a＋b＋c＝1， 111a＋b＋ca＋b＋ca＋b＋c∴＋＋＝＋＋ abcabc＝3＋＋＋＋＋＋ bcacabaabbcc?ba??ca??cb?＝3＋?＋?＋?＋?＋?＋? ?ab??ac??bc? ≥3＋2＋2＋2＝9， 1 当且仅当a＝b＝c＝时，取等号． 3 制作不易 推荐下载 3 q