第二十三讲 与圆有关的位置关系
宜宾中考考情与预测
宜宾考题感知与试做
1．(2014·宜宾中考)如图，已知AB为⊙O的直径，AB＝2，AD和BE是⊙O的两条切线，A、B为切点，过 圆上一点C作⊙O的切线CF，分别交AD、BE于点M、N，连结AC、CB.若∠ABC＝30°，则AM＝____3__. 3
2．(2017·宜宾中考)如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，AD平分∠CAE交⊙O于点D，且AE⊥CD，垂足为点E.
(1)求证：直线CE是⊙O的切线； (2)若BC＝3，CD＝32，求弦AD的长．
(1)证明：连结OD.∵AD平分∠EAC，∴∠OAD＝∠EAD.∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA， ∴∠EAD＝∠ODA，∴OD∥AE.∵AE⊥DC， ∴OD⊥CE，∴直线CE是⊙O的切线； (2)解：连接BD. ∵∠CDO＝∠ADB＝90°，
∴∠ODA＝∠CDB＝∠OAD.∵∠BCD＝∠DCA，∴△CDB∽△CAD， ∴
CDCBBDBDCD32222
＝＝，∴CD＝CB·CA，∴(32)＝3CA，∴CA＝6，∴AB＝CA－BC＝3, ＝＝＝.设BD＝CACDDAADCA62
2
2
2
2k，AD＝2k.在Rt△ADB中，2k＋4k＝3，∴k＝
6
，∴AD＝6. 2
3．(2018·宜宾中考)如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，D为BC延长线上一点，且BC＝CD，CE⊥AD于点E.
(1)求证：直线EC为⊙O的切线；
(2)设BE与⊙O交于点F，AF的延长线与CE交于点P，已知∠PCF＝∠CBF，PC＝5，PF＝4，求sin ∠PEF的值．
(1)证明：连接OC.
∵CE⊥AD于点E，∴∠DEC＝90°.
∵BC＝CD，∴点C是BD的中点．又∵点O是AB的中点，∴OC是△BDA的中位线，∴OC∥AD， ∴∠OCE＝∠CED＝90°，∴OC⊥CE.又∵点C在⊙O上，∴直线EC为⊙O的切线； (2)解：连结AC.
∵AB是⊙O的直径，点F在⊙O上， ∴∠AFB＝∠PFE＝90°＝∠CEA.
∵∠EPF＝∠EPA，∴△PEF∽△PAE，∴PE＝PF·PA. ∵∠FBC＝∠PCF＝∠CAF，∠CPF＝∠APC， ∴△PCF∽△PAC，∴PC＝PF·PA， ∴PE＝PC.
在Rt△PEF中，sin ∠PEF＝
PF4＝. PE5
宜宾中考考点梳理
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点与圆的位置关系
1．点与圆的三种位置关系：点在圆内、点在圆上、点在圆外．与其对应关系简明介绍如下：
点与圆的位置关系 点A在圆内 点B在圆上 点C在圆外
【方法点拨】
(1)点与圆的位置关系的数量特征，既是定义，也可作判定方法．
d＝OC＞r d＝OB＝r 图示 d与r的大小关系 d＝OA (2)其中，点在圆上的数量特征是重点，它可用来证明若干个点共圆，方法就是证明这几个点与定点的距离相等． 直线与圆的位置关系 2．直线与圆的三种位置关系：相交、相切、相离．既可以由直线与圆的交点个数来定义，也可以由圆心到直线的距离的大小关系来定义． 直线与圆的位置关系 图示 公共点个数 圆心到直线的距离d与半径r的大小关系 3.切线的判定定理 经过圆的半径的外端且__垂直于__这条半径的直线是圆的切线． 【方法点拨】 (1)若直线与圆只有一个公共点，则这条直线是圆的切线；(2)连结圆心与直线的公共点即为半径，再证它们互相垂直，简称“连半径证垂直”；(3)当直线与圆的公共点没有确定时，首先过圆心作出直线的垂线，再证垂线段的长等于半径，简称“作垂直证半径”． 4．切线的性质定理 圆的切线垂直于__经过切点的半径__． 推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必过切点． 推论2：经过切点且垂直于切线的直线必过圆心． 【方法点拨】 (1)分析性质定理和两个推论的条件、结论间的关系，可知如下结论：如果一条直线具备下列三个条件中的两个，就可以推出第三个：①垂直于切线；②过切点；③过圆心；(2)与圆的切线有关的辅助线作法：①若一个圆有切线，则常过圆心作切线的垂线段为辅助线；②若条件交代了切点，则连结圆心和切点是最常见的辅助线． 5．切线长定理 (1)切线长定理：过圆外一点所画的圆的两条切线，它们的切线长__相等__．这一点和圆心的连线__平分__这两条切线的夹角． (2)切线长定理的应用：如图，PA、PB与⊙O分别相切于A、B两点，则△PAO≌△PBO，PA＝PB；∠APO＝∠BPO；OA＋AP＝OP. 2 2 2 相交 相切 相离 1 d__＝__r 0 d__＞____r 2 d__＜__r 三角形的外心和内心