西南大学2014年春《高等几何》作业及答案(已整理)
第一次作业
1 写出下列点的齐次坐标
（1）（2,0），（0，2），（1，5）;（2）2x+4y+1=0的无穷远点. 2 求下列直线的齐次线坐标
（1）x轴 （2）无穷远直线 （3）x+4y+1=0. 3 求下列各线坐标所表示直线的方程： （1）[0,-1,0] (2) [0,1,1]
4 求联接点（1,2,－1）与二直线[2,1,3]，[1，－1，0]之交点的直线方程. 5 经过A(-3，2)和B(6，1)两点的直线被直线x+3y-6=0截于P点，求简比(ABP). 6 经过A(-3，2，2)，B(3，1，-1)两点的直线的线坐标.
7 求直线[1,－1,2]与二点[3，4，－1],[5,－3,1]之联线的交点坐标.
答案：1解:(1)(2,0,1) ,(0,2,1),(1,5,1); (2) (2,-1,0). 2解:(1)[0,1,0] (2)[0,0,1] (3)[1,4,1]
3解:(1)x2?0 (2)x2?x3?0
4解: 二直线[2,1,3]，[1，－1，0]的交点坐标为(3,3,-3),故两点（1,2,－1）,
x1x223x3?1?0,即x1?x2?0. ?3(3,3,-3)联线的方程为135解: 设
－3＋6λ2＋λAP=λ，则点P的坐标为P（，），因为点P在直线x
1＋λ1＋λPB－3＋6λ2＋λ+3（）－6=0 ,有??1,(ABP)?????1. 1＋λ1＋λ＋3y－6＝0上，所以有
6 解: 经过A(-3，2，2)，B(3，1，-1)两点的直线方程是
x1x221x32?0,即4x1?3x2?9x3?0.故线坐标为[4,-3,9]. ?1 ?33x135
7 解: 二点（3，4，－1）,(5,－3,1)联线的方程是
x24?3x3?1?0,即x1?8x2?29x3?0，该直线的线坐标为[1,-8,-29]. 1直线[1,-8,-29].与直线[1,－1,2]的交点为(13,31,9).
第二次作业
1已知共线四点A、B、C、D的交比(AB，CD)=2，则(CA，BD)=_______
2试证四直线2x－y+1=0,3x+y－2=0, 7x－y=0,5x－1=0共点，并顺这次序求其交比。 3、设共线四点P1P2,P3P4) 3(2,?2,?3)，P1(3,1,?2)，P2(1,3,1)，P4(0,?8,?5)，求(P4 设两点列同底,求一射影对应0,1,?分别变为1,?,0. 5 求射影变换????4??4?0的自对应元素
3x?2，则其不变点是 x?47 证明一线段中点是这直线上无穷远点的调和共轭点.
答案： 1 解: -1
2 解: 四直线2x－y+1=0,3x+y－2=0, 7x－y=0,5x－1=0的线坐标为[2,-1,1],[3,1,-2],[7,-1,0],[5,0,-1].由于 6一直线上点的射影变换是x′=
2?1317?1102?11051?2?0. ?1?2?0, 3所以四直线共点.
由于P3?2P1?P2, P4?P1?P2, 故 ?1??11, ?2?1,所求交比1?.
?222?1,所求交比1?3.
?233 解:因为P3?P1?P2, P4?P1?3P2,所以?1??1,?2??4 解:设第四对对应点x,x?,由于射影对应保留交比,所以(01,?x)?(1?,0x?),得到
x?111,因此x??. ?x1?x?1?x5 解: 射影变换????4??4?0的自对应元素参数?满足方程??4??4?0,解得
2??2.
6 解: 射影变换x′=
3x?23x?2的不变元素满足x=,解得x?2,或x?1. x?4x?47 证明:设C为线段AB的中点,D?为线段AB上的无穷远点,则
(AB,CD?0)?(ABC)?
AC??1,命题得证. BC第三次作业
1举例我们已经学习过的变换群
2下列概念，哪些是仿射的，哪些是欧氏的？
①非平行线段的相等； ②不垂直的直线； ③四边形； ④梯形； ⑤菱形； ⑥平行移动； ⑦关于点的对称； ⑧关于直线的对称；
⑨绕点的旋转； ⑩面积的相等。
3从原点向圆（x－2）2+(y－2)2=1作切线t1,t2。试求x轴，y轴，t1,t2顺这次序的交比。 4若有两个坐标系，同以△A1A2A3为坐标三角形，但单位点不同，那么两种坐标间的转换式为何？
5在二维射影坐标系下，求直线A1E，A2E，A3E的方程和坐标。
6设点A（3，1，2），B（3，-1，0）的联线与圆x2+y2－5x－7y＋6=0相交于两点C和D，求交点C，D及交比（AB，CD）。
答案：1解: 射影变换群，仿射变换群, 欧氏变换群. 2解: ①②③⑤⑦⑨⑩是仿射的 ④⑥⑧是欧氏的. 3 解:设直线
y=kx
与圆相切,则1?2k?2k?12,两边平方得到
3k2?8k?3?0,k1,2?4?74?7x?0,t2的方程为因此t1的方程为y?33y?4?74?7x?0,故(xy,t1t2)?. 34?74 解:设两坐标系单位点分别为E,E?,由?xi?pip,?xi?i (i=1,2,3) eiei?由上两式得到
??eixi?x即
?i?ei??a1x1??x1ei???a??x?ax?? 其中, ,a1a2a3?0。 ?2i22?eu???x??ax33?35 解:由于A1(1,0,0),A2(1,0,0),A3(1,0,0),E(1,1,1),故直线A1E的方程x2?x3?0 直线A2E的方程x1?x3?0直线A3E的方程x1?x2?0.线坐标分别为[0,1,-1],[1,0,-1],[1,-1,0].