?x2?y2?z2?3x?0,2.求曲线?在点(1,1,1)处的切线及法平面方程
?2x?3y?5z?4?0
x2z22?y??1在点M处的法向量与三坐标轴正向的夹角相等，求点的坐标。 3.曲面33
4．从斜边之常为l的一切直角三角形中，求有最大周长的直角三角形。
- 26 -
5．抛物面z?x2?y2被平面x?y?z?1截成一椭圆，求原点到这椭圆的最长与最短距离。
- 27 -
四、（附加题）．
求二元函数z?f(x,y)?x2y(4?x?y)在由直线x?y?6、x轴和y轴所围成的闭区域上的极值，最大值和最小值。
- 28 -
第九章多元函数微分法及应用
（自测题）
一、填空题
221．函数f(x,y)?sin(x?y)的定义域为 2．z?lnx2?y2的定义域是
?12?sin(xy),xy?0,3．设f(x,y)??xy则fx(0,1)?
?0,xy?0,?4．设z?z(x,y)由e?sinxzy?0确定，则zx? x5．函数z?x2?3xy在点(1,2)处 沿x轴正方向的方向导数为
6．F(u,v)有连续的一阶偏导数，且Fu(3,1)?1,Fv(3,1)??1，曲 面F(x?y,x?z)?0过(2,1,1)，则曲面过这点的法线与xoy面的交角是 二、单项选择
1．设z?arccot(x?y),则zy等于（ ）。
1?1sec2(x?y)1A. B. C. D. ?21?(x?y)21?(x?y)21?(x?y)21?(x?y)d2u2．设u??(x,y)，而y?e，?具有连续的二阶偏导数，则2=（ ）。
dxxA.?11?2?21e??22e??2e B.?11?2?12??22e??2 C.?11??21ex??22e2x??2ex D.?11?2?12e??22e3．函数z?z(x,y)由由F(?22x2xxxxx??2ex
1x111?)?所确定，其中F为可微函数， yzz则xzx?yzy等于（ ）。
1z2z2(Fx?Fy) C.(Fx?Fy) B.A.(Fx?Fy) D.0 ??1?F1?F1?Fz
- 29 -
4．函数u?x2?3xy?y2在点(1,1)沿方向l??1,?5?的变化率为（ ）。 A.1 B.?1 C. 0 D.52 26?x2?y2?z5．曲线?在原点处的法平面方程为（ ）。
y?x?A.x?y?0 B. y?z?0 C.x?y?0 D.x?z?0
6．设x轴正向到方向l的转角为?，且f(x,y)?x2?xy?y2在点(1,1)沿方向l的方向导数取得最小值，则?等于（ ）。 A.0 B. 7．平面
?5 C.? D.? 44xyz???1和柱面x2?y2?1的交线上到xoy平面距离最短的点是（ ）。 34543355512A.(,,) B. (,,) C.(1,1,1) D.(3,4,5)
55124335三、计算
1． 设z?ln(x?lny)，求
2.设z?f(u),其中u?xy?
3.设F(u,v)具有连续一阶偏导数，且z?xF(xy2,exy)，求dz。
- 30 -
2?z?x(1,e),?z?y(1,e)。
y?z?z,。 ,且z为可导函数，求
x?x?y