离散数学课后习题答案 (左孝凌版)
1-1,1-2 (1)解:
a)是命题,真值为T。 b)不是命题。
c)是命题,真值要根据具体情况确定。 d)不是命题。
e)是命题,真值为T。 f)是命题,真值为T。 g)是命题,真值为F。 h)不是命题。 i)不是命题。 (2)解:
原子命题:我爱北京天安门。
复合命题:如果不是练健美操,我就出外旅游拉。 (3)解:
a)(┓P ∧R)→Q b)Q→R c)┓P d)P→┓Q (4)解:
a)设Q:我将去参加舞会。R:我有时间。P:天下雨。
Q? (R∧┓P):我将去参加舞会当且仅当我有时间和天不下雨。 b)设R:我在看电视。Q:我在吃苹果。 R∧Q:我在看电视边吃苹果。
c) 设Q:一个数是奇数。R:一个数不能被2除。
(Q→R)∧(R→Q):一个数是奇数,则它不能被2整除并且一个数不能被2整除,则它是奇数。 (5) 解:
a) 设P:王强身体很好。Q:王强成绩很好。P∧Q b) 设P:小李看书。Q:小李听音乐。P∧Q c) 设P:气候很好。Q:气候很热。P∨Q
d) 设P: a和b是偶数。Q:a+b是偶数。P→Q
e) 设P:四边形ABCD是平行四边形。Q :四边形ABCD的对边平行。P?Q f) 设P:语法错误。Q:程序错误。R:停机。(P∨ Q)→ R (6) 解:
a)P:天气炎热。Q:正在下雨。 P∧Q b)P:天气炎热。R:湿度较低。 P∧R c)R:天正在下雨。S:湿度很高。 R∨S d)A:刘英上山。B:李进上山。 A∧B
e)M:老王是革新者。N:小李是革新者。 M∨N f)L:你看电影。M:我看电影。 ┓L→┓M
g)P:我不看电视。Q:我不外出。 R:我在睡觉。 P∧Q∧R
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1
h)P:控制台打字机作输入设备。Q:控制台打字机作输出设备。P∧Q
1-3
(1)解:
a)不是合式公式,没有规定运算符次序(若规定运算符次序后亦可作为合式公式) b)是合式公式
c)不是合式公式(括弧不配对)
d)不是合式公式(R和S之间缺少联结词) e)是合式公式。
(2)解:
a) A是合式公式,(A∨B)是合式公式,(A→(A∨B)) 是合式公式。这个过程可以简记为: A;(A∨B);(A→(A∨B)) 同理可记
b) A;┓A ;(┓A∧B) ;((┓A∧B)∧A)
c) A;┓A ;B;(┓A→B) ;(B→A) ;((┓A→B)→(B→A)) d) A;B;(A→B) ;(B→A) ;((A→B)∨(B→A)) (3)解:
a)((((A→C)→((B∧C)→A))→((B∧C)→A))→(A→C)) b)((B→A)∨(A→B))。
(4)解:
a) 是由c) 式进行代换得到,在c) 中用Q代换P, (P→P)代换Q. d) 是由a) 式进行代换得到,在a) 中用 P→(Q→P)代换Q.
e) 是由b) 式进行代换得到,用R代换P, S代换Q, Q代换R, P代换S. (5)解:
a) P: 你没有给我写信。 R: 信在途中丢失了。 P Q b) P: 张三不去。Q: 李四不去。R: 他就去。 (P∧Q)→R
∨ c) P: 我们能划船。 Q: 我们能跑步。 ┓(P∧Q)
d) P: 你来了。Q: 他唱歌。R: 你伴奏。 P→(Q?R) (6)解:
P:它占据空间。 Q:它有质量。 R:它不断变化。 S:它是物质。 这个人起初主张:(P∧Q∧R) ? S 后来主张:(P∧Q?S)∧(S→R)
这个人开头主张与后来主张的不同点在于:后来认为有P∧Q必同时有R,开头时没有这样的主张。 (7)解:
a) P: 上午下雨。 Q:我去看电影。 R:我在家里读书。 S:我在家里看报。(┓P→Q)∧(P→(R∨S)) b) P: 我今天进城。Q:天下雨。┓Q→P c) P: 你走了。 Q:我留下。Q→P 1-4
(4)解:a) P Q R Q∧R P∧(Q∧R) P∧Q (P∧Q)∧R dintin@gmail.com 2
T T T T F F F F T T F F T T F F T F T F T F T F T F F F T F F F T F F F F F F F T T F F F F F F T F F F F F F F 所以,P∧(Q∧R) ? (P∧Q)∧R b) P Q R Q∨R P∨(Q∨R) P∨Q (P∨Q)∨R T T T T T T T T T F T T T T T F T T T T T T F F F T T T F T T T T T T F T F T T T T F F T T T F T F F F F F F F 所以,P∨(Q∨R) ? (P∨Q)∨R c)
P Q Q∨P∧(Q∨P∧P∧(P∧Q)∨(P∧R R R) Q R R) T T T T T F T F T T T T T T T T T F T T F T T F T T F F F F F F F T T F F F F T T F F F F F T T F F F F F F F F F F F F T F F F 所以,P∧(Q∨R) ? (P∧Q)∨(P∧R) d) P Q ┓P ┓Q ┓P∨┓Q ┓(P∧Q) ┓P∧┓Q ┓(P∨Q) T T F F F F F F T F F T T T F F F T T F T T F F F F T T T T T T dintin@gmail.com
3
所以,┓(P∧Q) ?┓P∨┓Q, ┓(P∨Q) ?┓P∧┓Q
(5)解:如表,对问好所填的地方,可得公式F1~F6,可表达为 P Q R F1 F2 F3 F4 F5 T T T T F T T F T T F F F T F F T F T T F F T T T F F F T F T T F T T T F F T T F T F T F F F T F F T T F T T T F F F F T F T T F1:(Q→P)→R F2:(P∧┓Q∧┓R)∨(┓P∧┓Q∧┓R) F3:(P←→Q)∧(Q∨R)
F4:(┓P∨┓Q∨R)∧(P∨┓Q∨R) F5:(┓P∨┓Q∨R)∧(┓P∨┓Q∨┓R) F6:┓(P∨Q∨R)
(6) 1 P Q 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 F F F T F T F T F T F T F T F T F T F F T T F F T T F F T T F F T F F F F F T T T T F F F F T T T T F F F F F F F F T T T T T T 解:由上表可得有关公式为 1.F 2.┓(P∨Q) 3.┓(Q→P) 4.┓P
5.┓(P→Q) 6.┓Q 7.┓(P?Q) 8.┓(P∧Q) 9.P∧Q 10.P?Q 11.Q 12.P→Q
13.P 14.Q→P 15.P∨Q 16.T (7) 证明:
a) A→(B→A)? ┐A∨(┐B∨A)
? A∨(┐A∨┐B) ? A∨(A→┐B) ?┐A→(A→┐B)
b) ┐(A?B) ?┐((A∧B)∨(┐A∧┐B))
?┐((A∧B)∨┐(A∨B)) ?(A∨B)∧┐(A∧B)
或 ┐(A?B) ?┐((A→B)∧(B→A))
?┐((┐A∨B)∧(┐B∨A))
?┐((┐A∧┐B)∨(┐A∧A)∨(B∧┐B)∨(B∧A)) ?┐((┐A∧┐B)∨(B∧A)) ?┐(┐(A∨B))∨(A∧B) ?(A∨B)∧┐(A∧B)
c) ┐(A→B) ? ┐(┐A∨B) ?A∧┐B d) ┐(A?B)?┐((A→B)∧(B→A))
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F6 F F F F F F F T 15 16 F T T T T T T T 4
?┐((┐A∨B)∧(┐B∨A)) ?(A∧┐B)∨(┐A∧B)
e) (((A∧B∧C)→D)∧(C→(A∨B∨D)))
?(┐(A∧B∧C)∨D)∧(┐C∨(A∨B∨D)) ?(┐(A∧B∧C)∨D)∧(┐(┐A∧┐B∧C)∨D) ? (┐(A∧B∧C)∧┐(┐A∧┐B∧C))∨D ?((A∧B∧C)∨(┐A∧┐B∧C))→D ? (((A∧B)∨(┐A∧┐B))∧C)→D ? ((C∧(A?B))→D)
f) A→(B∨C) ? ┐A∨(B∨C)
? (┐A∨B)∨C ?┐(A∧┐B)∨C ? (A∧┐B)→C
g) (A→D)∧(B→D)?(┐A∨D)∧(┐B∨D)
?(┐A∧┐B)∨D ? ┐(A∨B)∨D ? (A∨B)→D
h) ((A∧B)→C)∧(B→(D∨C))
?(┐(A∧B)∨C)∧(┐B∨(D∨C)) ? (┐(A∧B)∧(┐B∨D))∨C ?(┐(A∧B) ∧┐(┐D∧B))∨C ?┐((A∧B)∨(┐D∧B))∨C ? ((A∨┐D)∧B)→C ? (B∧(D→A))→C (8)解:
a) ((A→B) ? (┐B→┐A))∧C
? ((┐A∨B) ? (B∨┐A))∧C ? ((┐A∨B) ? (┐A∨B))∧C ?T∧C ?C
b) A∨(┐A∨(B∧┐B)) ? (A∨┐A)∨(B∧┐B) ?T∨F ?T c) (A∧B∧C)∨(┐A∧B∧C)
? (A∨┐A) ∧(B∧C) ?T∧(B∧C) ?B∧C
(9)解:1)设C为T,A为T,B为F,则满足A∨C?B∨C,但A?B不成立。
2)设C为F,A为T,B为F,则满足A∧C?B∧C,但A?B不成立。 3)由题意知┐A和┐B的真值相同,所以A和B的真值也相同。 习题 1-5
a)证明:
a) (P∧(P→Q))→Q
? (P∧(┐P∨Q))→Q ?(P∧┐P)∨(P∧Q)→Q ?(P∧Q)→Q ?┐(P∧Q)∨Q ?┐P∨┐Q∨Q
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