(9)证明{┐,→}和{┐, }是最小联结词组。
证明：因为{┐,∨}为最小联结词组，且P∨Q?┐P→Q
所以{┐,→}是功能完备的联结词组，又{┐},{→}都不是功能完备的联结词组。 所以{┐,→}是最小联结词组。
c c c 又因为P→Q?┐{┐},{ }不是功能完备的联结→ (P Q)，所以→ {┐, }是功能完备的联结词组，又→
词组，
c 所以{┐, }是最小联结词组。 →
习题 1-7 (1) 解：
P∧(P→Q)
?P∧(┐P∨Q)
? (P∧┐P)∨(P∧Q) P∧(P→Q)
? (P∨(┐Q∧Q))∧(┐P∨Q) ? (P∨┐Q)∧(P∨Q)∧(┐P∨Q)
(2) 解：
a) (┐P∧Q)→R
?┐(┐P∧Q)∨R ? P∨┐Q∨R
?(P∧Q)∨(P∧┐Q) ∨(┐Q∧R)∨(┐Q∧┐R)∨(R∧P)∨(R∧┐P)
b) P→((Q∧R)→S)
?┐P∨(┐(Q∧R)∨S) ?┐P∨┐Q∨┐R∨S
?(┐P∧Q)∨(┐P∧┐Q) ∨(┐Q∧R)∨(┐Q∧┐R)∨(┐R∧S)∨(┐R∧┐S)∨(S∧P)∨(S∧┐P)
c) ┐(P∨┐Q)∧(S→T)
?(┐P∧Q)∧(┐S∨T)
?(┐P∧Q∧┐S)∨(┐P∧Q∧T) d) (P→Q)→R
?┐(┐P∨Q)∨R ?(P∧┐Q)∨R
?(P∨R)∧(┐Q∨R) e) ┐(P∧Q)∧(P∨Q)
?(┐P∨┐Q)∧(P∨Q)
?(┐P∧P)∨(┐P∧Q)∨(┐Q∧P)∨(┐Q∧Q) ? (┐P∧Q)∨(┐Q∧P) (3) 解：
a) P∨(┐P∧Q∧R)
?(P∨┐P)∧(P∨Q)∧(P∨R) ?(P∨Q)∧(P∨R) b) ┐(P→Q)∨(P∨Q)
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?┐(┐P∨Q)∨(P∨Q) ?(P∧┐Q)∨(P∨Q)
?(P∨P∨Q)∧(┐Q∨P∨Q) c) ┐(P→Q) ?┐(┐P∨Q) ? P∧┐Q
?(P∨Q)∧(P∨┐Q)∧(┐Q∨┐P) d) (P→Q)→R ?┐(┐P∨Q)∨R ? (P∧┐Q)∨R
? (P∨R)∧(┐Q∨R) e) (┐P∧Q)∨(P∧┐Q)
?(┐P∨P)∧(┐P∨┐Q)∧(Q∨P)∧(Q∨┐Q) ?(┐P∨┐Q)∧(Q∨P)
(4) 解：
a) (┐P∨┐Q)→(P?┐Q) ?┐(┐P∨┐Q) ∨(P?┐Q)
? (P∧Q) ∨(P∧┐Q)∨(┐P∧Q) ??1，2，3 ?P∨Q=?0
b) Q∧(P∨┐Q)
? (P∧Q)∨(Q∧┐Q) ? P∧Q =?3 ??0，1，2
?(P∨Q)∧(P∨┐Q) ∧(┐P∨Q) c) P∨(┐P→(Q∨(┐Q→R)) ?P∨(P∨(Q∨(Q∨R)) ?P∨Q∨R=?0 ??1，2，3,4,5,6,7
=(┐P∧┐Q∧R) ∨(┐P∧Q∧┐R) ∨(┐P∧Q∧R) ∨(P∧┐Q∧┐R) ∨(P∧┐Q∧R) ∨(P∧Q∧┐R) ∨(P∧Q∧R)
d) (P→(Q∧R) )∧(┐P→(┐Q∧┐R))
? (┐P∨(Q∧R)) ∧(P∨(┐Q∧┐R))
? (P∧┐P) ∨(P∧(Q∧R)) ∨ ((┐Q∧┐R) ∧┐P) ∨((┐Q∧┐R) ∧(Q∧R)) ? (P∧Q∧R) ∨(┐P∧┐Q∧┐R) =?0,7 ??1，2，3,4,5,6?
? (P∨Q∨┐R) ∧(P∨┐Q∨R) ∧(P∨┐Q∨┐R) ∧(┐P∨Q∨R) ∧(┐P∨Q∨┐R) ∧(┐P∨┐Q∨R)
e) P→(P∧(Q→P)
?┐P∨(P∧(┐Q∨P)
?(┐P∨P)∧(┐P∨┐Q∨P) ?T∨(T∧┐Q) ?T
??0,1,2,3= (┐P∧┐Q) ∨(┐P∧Q) ∨(P∧┐Q) ∨(P∧Q) f) (Q→P) ∧(┐P∧Q)
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? (┐Q∨P) ∧┐P∧Q
? (┐Q∨P) ∧┐(P∨┐Q) ?F
??0,1，2，3= (P∨Q) ∧(P∨┐Q) ∧(┐P∨Q) ∧(┐P∨┐Q)
(5) 证明：
a)
(A→B) ∧(A→C)
? (┐A∨B) ∧(┐A∨C) A→(B∧C)
?┐A∨(B∧C)
? (┐A∨B) ∧(┐A∨C) b)
(A→B) →(A∧B)
?┐(┐A∨B) ∨(A∧B) ? (A∧┐B) ∨(A∧B) ?A∧(B∨┐B) ?A∧T ?A
(┐A→B) ∧(B→A) ? (A∨B) ∧(┐B∨A) ?A∨(B∧┐B) ?A∨F ?A
c)
A∧B∧(┐A∨┐B)
? ((A∧┐A)∨(A∧┐B))∧B ?A∧B∧┐B ?F
┐A∧┐B∧(A∨B)
? ((┐A∧A)∨(┐A∧B))∧┐B ?┐A∧┐B∧B ?F
d)
A∨(A→(A∧B) ?A∨┐A∨(A∧B) ?T
┐A∨┐B∨(A∧B) ?┐(A∧B) ∨(A∧B) ?T
(6)解：A?R↑(Q∧┐(R↓P)),则A*? R↓(Q∨┐(R↑P)) A?R↑(Q∧┐(R↓P)) ?┐(R∧(Q∧(R∨P))) ?┐R∨┐Q∨┐(R∨P) ?┐(R∧Q) ∨┐(R∨P) A*?R↓(Q∨┐(R↑P))
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?┐(R∨(Q∨(R∧P)) ?┐R∧┐Q∧┐(R∧P) ?┐(R∨Q) ∧┐(R∧P)
(7) 解：设A：A去出差。B：B去出差。C：C去出差。D：D去出差。 若A去则C和D中要去一个。 A→(CVD) B和C不能都去。 ┐(B∧C) C去则D要留下。 C→┐D
按题意应有：A→(CVD)，┐(B∧C)，C→┐D必须同时成立。 因为CVD ? (C∧┐D) ∨(D∧┐C) 故(A→(CVD))∧┐(B∧C) ∧(C→┐D)
? (┐A∨(C∧┐D) ∨(D∧┐C)) ∧┐(B∧C) ∧(┐C∨┐D) ? (┐A∨(C∧┐D) ∨(D∧┐C)) ∧(┐B∨┐C) ∧(┐C∨┐D)
? (┐A∨(C∧┐D) ∨(D∧┐C)) ∧((┐B∧┐C) ∨(┐B∧┐D) ∨(┐C∧┐D) ∨┐C)? (┐A∧┐B∧┐C) ∨(┐A∧┐B∧┐D) ∨(┐A∧┐C∧┐D) ∨(┐A∧┐C) ∨(┐B∧┐C∧D) ∨(┐C∧D∧┐B∧┐D) ∨(┐C∧D∧┐C∧┐D) ∨(┐C∧D∧┐C) ∨(┐D∧C∧┐B∧┐C) ∨(┐D∧C∧┐B∧┐D) ∨(┐D∧C∧┐C∧┐D) ∨(┐D∧C∧┐C)
在上述的析取范式中，有些（画线的）不符合题意，舍弃，得 (┐A∧┐C) ∨(┐B∧┐C∧D) ∨（┐C∧D）∨(┐D∧C∧┐B) 故分派的方法为：B∧D ,或 D∧A,或 C∧A。
(8) 解：设P：A是第一。Q：B是第二。R：C是第二。S：D是第四。E：A是第二。
由题意得 (PVQ) ∧(RVS) ∧(EVS)
? ((P∧┐Q) ∨(┐P∧Q)) ∧((R∧┐S) ∨(┐R∧S)) ∧((E∧┐S) ∨(┐E∧S)) ? ((P∧┐Q∧R∧┐S) ∨(P∧┐Q∧┐R∧S) ∨(┐P∧Q∧R∧┐S) ∨(┐P∧Q∧┐R∧S))∧((E∧┐S)∨(┐E∧S))
因为 (P∧┐Q∧┐R∧S)与(┐P∧Q∧R∧┐S)不合题意，所以原式可化为
((P∧┐Q∧R∧┐S) ∨(┐P∧Q∧┐R∧S))∧((E∧┐S) ∨(┐E∧S))
? (P∧┐Q∧R∧┐S∧E∧┐S) ∨(P∧┐Q∧R∧┐S∧┐E∧S) ∨(┐P∧Q∧┐R∧S∧E∧┐S)∨(┐P∧Q∧┐R∧S∧┐E∧S) ? (P∧┐Q∧R∧┐S∧E) ∨(┐P∧Q∧┐R∧S∧┐E) 因R与E矛盾，故┐P∧Q∧┐R∧S∧┐E为真，
即A不是第一，B是第二，C不是第二，D为第四，A不是第二。 于是得： A是第三 B是第二 C是第一 D是第四。
习题1-8 (1)证明：
a)┐(P∧┐Q)，┐Q∨R，┐R?┐P
(1) ┐R P (2) ┐Q∨R P
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(3) ┐Q (1)(2)T,I (4) ┐(P∧┐Q) P (5) ┐P∨Q (4)T,E
(6) ┐P (3)(5)T,I b)J→(M∨N)，(H∨G)→J，H∨G?M∨N (1) (H∨G) →J P (2) (H∨G) P
(3) J (1)(2)T,I (4) J→(M∨N) P
(5) M∨N (3)(4)T,I c)B∧C，(B?C)→(H∨?G∨H (1) B∧C P
(2) B (1)T,I (3) C (1)T,I (4) B∨┐C (2)T,I (5) C∨┐B (3)T,I (6) C→B (4)T,E (7) B→C (5)T,E (8) B?C (6)(7)T,E (9) (B?C) →(H∨G) P
(10) H∨G (8)(9)T,I d)P→Q，(┐Q∨R)∧┐R，┐(┐P∧?┐S (1) (┐Q∨R) ∧┐R (2) ┐Q∨R (1)T,I (3) ┐R (1)T,I (4) ┐Q (2)(3)T,I (5) P→Q P (6) ┐P (4)(5)T,I (7) ┐(┐P∧┐S) P
(8) P∨┐S (7)T,E
(9) ┐S (6)(8)T,I (2) 证明：
a)┐A∨B，C→┐B?A→┐C (1) ┐(AC) P (2) A (1)T,I (3) C (1)T,I (4) ┐A∨B P
(5) B (2)(4)T,I (6) C→┐B P
(7) ┐B (3)(6)T,I (8) B∧┐B 矛盾。(5),(7) b)A→(B→C)，(C∧D)→E，┐F→(D∧┐?A→(B→F) (1) ┐(A→(B→F)) P
(2) A (1)T,I (3) ┐(B→F) (1)T,I
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