第三章 积分变换法 一 付立叶变换及性质 1付立叶变换的定义
设f(x)是定义在(??,??)内的实函数，它在任一有限区间[?l,?l]上分段光滑，并且在(??,??)内绝对可积，则有付立叶积分
1????i?(x??)d?f(?)ed? f(x)???????2?定义由式
F(?)????f(?)e?i??d?
确定的函数F(?)为函数f(x)的付立叶变换，记
???[f(x)]=F(?)????f(?)e?i??d?
由式了可知：
??1???i??f(x)?F(?)ed? ???2?称上式定义的函数f(x)的函数F[?]的付立叶逆变换，记：
1???i??f(x)??[F(?)]?F(?)ed? ???2??1通常也称F[?]为f(x)的象函数，f(x)为F[?]的象原函数。并且由付立叶积分式有：
??1?[f(x)]?f(x)
从付立叶及其逆变换的定义来看，求其函数的付立叶变换或逆变换就是要计算一个含以变量的广义积分。 2付立叶变换的性质 (1)线性性质
设F(?)，G(?)分别是函数f(x)和g(x)的付立叶变换，?和?是两任意常数，则有：
?[?f(x)??g(x)]＝??[f(x)]???[g(x)]
(2)微分性质
①原函数的微分性 设f(x)内连续在(??,??)分段光滑，并且当|x|??时有f(x)?0，又f(x)和f'(x)都绝对可积，则：?[f'(x)]?i??[f(x)]
②象函数的微分性 若?[f(x)]?F(?)，则
F'(?)??[?ixf(x)]
(3)卷积性质
二 付立叶变换在数理方程中的应用
因为要求作付立叶的函数需要定义在区间(??,??)内，所以数学物理方程中，通常利用付立叶变换求解无界区域上的定解问题，特别是柯西问题。
这里要注意热传导方程的柯西问题、半平面二维拉氏方程的边值问题、半无四个坚持热传导问题、二维热传导方程的柯西问题。 三 拉普拉斯变换 1拉普拉斯变换的定义
设f(t)为复值函数，若积分?0f(t)e?stdt在复平面s的某一区域收敛于F(s)，则称
??F(s)??0f(t)e?stdt
为函数f(t)的拉普拉斯变换，或称为拉氏变换，记为：
L[f(t)]?F(s)
如果F(s)为f(t)的拉普拉斯变换，则称f(t)为F(s)的拉普拉斯逆变换。记为：
L?1[F(s)]?f(t)。
2拉普拉斯变换的存在定理
定理 若函数满足条件： (1) 当时t?0，f(t)?0；
(2) 在t?0的任一有限区间上分段连续；
?t?0?0(3) 当t?0时， |f(t)|?Me，其中M?0，
0是常数，并称?0为函数f(t)的增长指数，则f(t)的拉普拉斯变换在半平面内存在并解析。