坐标系与参数方程 知识点
1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换
设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换
?x????x?:??y????y(??0)的作用下,点P(x,y)对应到点P?(x?,y?),称?(??0)(2)极坐标
设M是平面内一点,极点O与点M的距离|OM|叫做点M的极径,记为?;以极轴Ox为始边,射线OM为终边的角?xOM叫做点M的极角,记为?.有序数对(?,?)叫做点M的极坐标,记作
M(?,?).
一般地,不作特殊说明时,我们认为??0,?可取任意实数. 特别地,当点M在极点时,它的极坐标为(0, ?)(?∈R).和直角坐标不同,平面内一个点的极坐标有无数种表示.
为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换.
2.极坐标系的概念
(1)极坐标系
如果规定??0,0???2?,那么除极点外,平面内的点可用唯一的极坐标(?,?)表示;同时,极坐标(?,?)表示的点也是唯一确定的.
如图所示
,在平面内取一个定点O,叫做极
点,自极点O引一条射线Ox,叫做极轴;再选定一个长度单位,一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系.
注:极坐标系以角这一平面图形为几何背景,而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景;平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关系,而极坐标系则不可.但极坐标系和平面直角坐标系都是平面坐标系.
3.极坐标和直角坐标的互化
(1)互化背景:把直角坐标系的原点作为极点,x轴的正半轴作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位,如图所示:
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(2)互化公式:设M是坐标平面内任意一点,它的直角坐标
圆心为是(x,y),极坐标是(?,?)(??0),于是极坐标与直角坐标的互化公式如表:
直角坐标点M (x,y) (?,?) (r,)2,半径为r的圆 过极点,倾斜角为?的直线 过点??2rsin?(0????) (1)???(??R)或?????(??R) (2)???(??0)和?????(??0) 极坐标?2?x2?y2互化公式 ?x??cos???y??sin? tan??y(x?0)x(a,0),与极轴垂直的直线 过点?cos??a(??2???? 在一般情况下,由tan?确定角时,可根据点M所在的象限最小正角.
)2 (a,)2,与极轴平行的直线 ??sin??a(0????) 4.常见曲线的极坐标方程
曲线 圆心在极点,半径为r的圆 圆心为 图形 极坐标方程
注:由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一,即
??r(0???2?) ??2rcos?(??2???(?,?),(?,2???),(??,???),(??,????),都表示同一点的坐标,这与
点的直角坐标的唯一性明显不同.所以对于曲线上的点的极坐
?(r,0),半径为r的圆 2 )标的多种表示形式,只要求至少有一个能满足极坐标方程即可.
M(,)???,44可以表示为例如对于极坐标方程点
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?????5???(,?2?)或(,?2?)或(-,)(,)444444等多种形式,其中,只有44必须使x,y的取值范围保持一致.
注：普通方程化为参数方程，参数方程的形式不一定唯一。应用参数方程解轨迹问题，关键在于适当地设参数，如果选用
的极坐标满足方程???.
的参数不同，那么所求得的曲线的参数方程的形式也不同。
二、参数方程
1.参数方程的概念
一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标
?x?f(t)?x,y都是某个变数t的函数?y?g(t)①,并且对于t的每一个允许
3．圆的参数
如图所示，设圆O的半径为r，点M从初始位置M0出发，按逆时针方向在圆O上作匀速圆周运动，设M(x,y)，则
??x?rcos(?为参数)?y?rsin??。
值,由方程组①所确定的点M(x,y)都在这条曲线上,那么方程①就叫做这条曲线的参数方程,联系变数x,y的变数t叫做参变数,简称参数,相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程.
这就是圆心在原点O，半径为r的圆的参数方程，其中?的几何意义是OM0转过的角度。
,，)半径为r的圆的普通方程是圆心为(ab2.参数方程和普通方程的互化
(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式,一般地可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程.
(2)如果知道变数x,y中的一个与参数t的关系,例如x?f(t),把它代入普通方程,求出另一个变数与参数的关系y?g(t),那么
?x?f(t)??y?g(t)就是曲线的参数方程,在参数方程与普通方程的互化中,
(x?a)2?(y?b)2?r2，
?x?a?rcos?(?为参数)?y?b?rsin?它的参数方程为：?。
4．椭圆的参数方程
以坐标原点O为中心，焦点在x轴上的椭圆的标准方程为
?x?acos?x2y2(?为参数)??2?1(a?b?0),2y?bsin?ab其参数方程为?，其中参数
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