《数学分析》教案 第七章 实数的完备性 教学目的： 1.使学生掌握六个基本定理，能准确地加以表述，并深刻理解其实质意义； 2.明确基本定理是数学分析的理论基础，并能应用基本定理证明闭区间上连续函数的基本性质和一些有关命题，从而掌握应用基本定理进行分析论证的能力。 教学重点难点：本章的重点是实数完备性的基本定理的证明；难点是基本定理的应用。 教学时数：6学时 § 1 关于实数集完备性的基本定理（4学时） 教学目的： 1.使学生掌握六个基本定理，能准确地加以表述，并深刻理解其实质意义； 2.明确基本定理是数学分析的理论基础。 教学重点难点：实数完备性的基本定理的证明。 一. 确界存在定理：回顾确界概念． 定理1 非空有上界数集必有上确界；非空有下界数集必有下确界. 二. 单调有界原理: 回顾单调和有界概念. 定理2 单调有界数列必收敛. 三. 闭区间套定理 : 1．（闭）区间套: 设{[an, bn]}是一闭区间序列.若满足条件 （i）[an, bn]?[an?1, bn?1]，即n?1, 2, 闭区间中； （ii）lim(bn?an)?0，即当n??时区间长度趋于零. n??，亦即后一个闭区间包含在前一个则称该闭区间序列为一个闭区间套,简称为区间套 . 区间套还可表述为: a1?a2??an??bn??b2?b1，bn?an?0（n??） - 1 - 《数学分析》教案 请大家注意的是,这里涉及两个数列{an}和{bn},其中{an}递增,{bn}递减. ??(?1)n2????1????11????1??例如???,??和??0,??都是区间套. 但??1?,1???、??0,??和nn????n????nn????n????1????1?,1????都不是. ?nn????2. Cantor区间套定理: 定理3 设{[an, bn]}是一闭区间套，则存在唯一的点?，使得??[an, bn]，n?1, 2, ，即 an???bn，n?1, 2, 简言之，区间套必有唯一公共点. 推论 若??[an, bn]（n?1, 2, bn]}所确定的点，则对）是区间套{[an, ???0，存在N?0，当n?N时，有 [an,bn]?(?;?) 四．聚点定理 1. 聚点定义 定义 设S为数轴上的点集，?为定点（可以属于S，也可以不属于S）．若?的任何邻域内都含有S中的无穷多个点，则称?为点集S的一个聚点． 例如： 1??① 点集S1??(?1)n??有两个聚点1与?1（它们不属于E1）； n??② 点集S2?(a, b)的全部聚点组成的集合为[a, b]； ③ 点集S3?{2, 4, 7}（任何有限集）没有聚点． 聚点的概念还有两个等价定义如下： 定义 设S为数轴上的点集，若点?的任何?邻域内都含有S中异于?的点，即Uo(?; ?)E??，则称?为点集S的聚点． n??定义 若存在各项互异的收敛数列{xn}?S，且limxn??，则称?为点集S的- 2 - 《数学分析》教案 聚点． 事实上，聚点的三个定义是等价的． 2. 聚点定理与致密性定理 定理4（Weierstrass聚点定理）实轴上的任一有界无限点集S至少存在一个聚点． 定理5 (Weierstrass致密性定理) 任一有界数列必有收敛子列. 注：致密性定理是聚点定理的特殊形式 五. 有限覆盖定理 1. 覆盖定义 设S为数轴上的点集，H为开区间集（即H中的每一个元素都是开区间）．若对S中任何一点x，H至少存在一个开区间?，使得x??，则称H为点集S的一个开覆盖，或称H覆盖了S．若H中开区间的个数是无限（有限）的，则称H为点集S的一个无限（有限）开覆盖． 例如： ??11?① 若E1?(0, 1)，H1???, ? n?1, 2, ??n?1n???，则开区间集H1没有覆盖?11区间E1．事实上，对??(0, 1)，H1中没有开区间包含． nn??1?E?(0, 1), 1? n?1, 2, ② 若2，H2?????n?1???，则开区间集H2覆盖区间?1?x，也n0?1E2．事实上，对?x?(0, 1)，一定存在充分大的自然数n0，使得?1??1?, 1?，使得x??, 1?． 即H2中存在开区间??n0?1??n0?1?③ 若E3?[a, b]，H3??(x??x, x??x) x?[a, b], ?x?0?，则开区间集H3覆盖闭区间E3．事实上，对?x?[0, 1]，显然H3中存在相应的开区间(x??x, x??x)，使得x?(x??x, x??x)． 2. 有限覆盖定理 定理6（有限覆盖定理）若H为闭区间[a, b]的一个（无限）开覆盖，则在H- 3 -