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典型例题一
例1．根据叙述作图，指出二面角的平面角并证明．
（１）如图1，已知????l,A?l．在?内作PA?l于A，在?内作QA?l于A．
（２）如图２，已知????l,A??,A?l．作AP??于P，在?内作AQ?l于Q，连结PQ．
（３）已知????l,A??,A??．作AP??于P，AQ??于Q，l?平面
PAQ?H，连结PH、QH．
作图与证明在此省略．
说明：本题介绍了作二面角的平面角的三种常用方法，其中用三垂线定理及逆定理的方法最常用，还需补充这种方法的其他典型图形．
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典型例题二
例2. 如图，在立体图形D?ABC中，若AB?CB,AD?CD,E是AC的中点，则下列命题中正确的是（ ）.
（A）平面ABC⊥平面ABD （B）平面ABD⊥平面BDC
（C）平面ABC⊥平面BDE，且平面ADC⊥平面BDE （D）平面ABC⊥平面ADC，且平面ADC⊥平面BDE
分析：要判断两个平面的垂直关系，就需固定其中一个平面，找另一个平面内的一条直线与第一个平面垂直.
解：因为AB?CB,且E是AC的中点，所以BE?AC,同理有DE?AC，于是AC?平面BDE.因为?CA平面ABC，所以平面ABC?平面BDE.又由于AC?平面ACD,所以平面ACD?平面BDE.所以选C.
说明：本题意图是训练学生观察图形，发现低级位置关系以便得到高级位置关系.在某一个平面内,得到线线垂直的重要途径是出现等腰三角形底边的中线,由线线垂直得到线面垂直,由线面垂直可得到面面垂直.
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典型例题三
例３．如图，P是?ABC所在平面外的一点，且PA?平面ABC，平面PAC?平面
PBC．求证BC?AC．
分析：已知条件是线面垂直和面面垂直，要证明两条直线垂直，应将两条直线中的一条纳入一个平面中，使另一条直线与该平面垂直，即从线面垂直得到线线垂直．．
证明：在平面PAC内作AD?PC，交PC于D．因为平面PAC?平面PBC于PC，
AD?平面PAC，且AD?PC，所以AD?平面PBC．又因为BC?平面PBC，于是
有AD?BC①．另外PA?平面ABC，BC?平面ABC，所以PA?BC．由①②及
AD?PA?A，可知BC?平面PAC．因为AC?平面PAC，所以BC?AC．
说明：在空间图形中，高一级的垂直关系中蕴含着低一级的垂直关系，通过本题可以看到，面面垂直?线面垂直?线线垂直．
典型例题四
例４．如图，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上异于A、B的任意一点，求证：平面PAC?平面PBC．
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