线性规划与数学建模简介

精品课程《高等数学》(线性代数部分)电子教案

第十三章 线性规划与数学建模简介

【授课对象】理工类专业学生 【授课时数】6学时

【授课方法】课堂讲授与提问相结合

【基本要求】1、了解数学模型的基本概念、方法、步骤;

2、了解线性规划问题及其数学模型; 3、了解线性规划问题解的性质及图解法.

【本章重点】线性规划问题.

【本章难点】线性规划问题、线性规划问题解的性质、图解法. 【授课内容】

本章简要介绍数学建模的基本概念、方法、步骤,并以几个典型线性规划问题

为例,介绍构建数学模型的方法及其解的性质。

§1 数学建模概述

一、数学建模

数学建模是构造刻划客观事物原型的数学模型并用以分析、研究和解决实际问题的一种科学方法。运用这种科学方法,必须从实际问题出发,遵循从实践到认识再实践的认识规律,围绕建模的目的,运用观察力、想象力的抽象概括能力,对实际问题进行抽象、简化,反复探索,逐步完善,直到构造出一个能够用于分析、研究和解决实际问题的数学模型。因此,数学建模是一种定量解决实际问题的创新过程。

二、数学模型的概念

模型是人们对所研究的客观事物有关属性的模拟。例如在力学中描述力、

量和加速度之间关系的牛顿第二定律F=ma就是一个典型的(数学)模型。一般地,可以给数学模型下这样的定义:数学模型是磁于以部分现实世界为一定目的而做的抽象、简化的数学结构。

通俗而言,数学模型是为了一定目的对原型所作的一种抽象模拟,它用数学 式子,数学符号以及程序、图表等描述客观事物的本质特征与内在联系。

三建立数学模型的方法和步骤

建立数学模型没有固定模式。下面介绍一下建立模型的大体过程: 1. 建模准备

建模准备是确立建模课题的过程。这类课题是人们在生产和科研中为了使 认识和实践过一步发展必须解决的问题。因此,我们首先要发现这类需要解决的实际问题。其次要弄清所解决问题的目的要求并着手收集数据。进行建模筹划,组织必要的人力、物力等,确立建模课题。

2.模型假设

作为建模课题的实际问题都是错综复杂的、具体的。如果不对这些实际问题进行抽象简化,人们就无法准确把握它的本质属性,而模型假设就是根据建模的目的对原型进行抽象、简化,抓住反映问题本质属性的主要因素,简化掉那些非本质的

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次要因素。有了这些假设,就可以在相对简单的条件下,弄清各因素之间的关系,

建立相应的模型。

合理的假设是建立理想模型的必要条件和基本保证。如果假设是合理的,则模型切合实际,能解决实际问题;如果假设不合理中或过于简化,则模型与实际情况不符或部分相符,就解决不了问题,就要修改假设,修改模型。

3.构造模型

在模型假设的基础上,开始构建数学模型。首先分析变量类型,恰当使用数学工具。一般而言,如果实际问题中的变量是确定型变量,数学工具可采用微积分、微分方程、线性或非线性规划、投入产出、确定性库存论等。如果变量是随机变量,数学工具可采用概率与统计、排队论、对策论、决策论、随机微分方程、随机性库存论等。其次,抓住问题本质,简化变量之间的关系。可以说,数学的任一分支在构造模型时都可能有用,而同一实际问题也可以构造不同的数学模型。一般而言,在能够达到建模目的前提下,所用的数学工具应力求简单、易解,但要保证模型的解的精确在允许的范围内。

4.模型求解

不同的模型要选择或设计不同的数学方法和算法求解,许多模型还可以通过编写计算机程序软件包,借助计算机快速完成对模型的求解。

5.模型分析

对模型的求解结果进行分析,主要包括稳定性分析,参数的灵敏度分析,误差分析等。通过分析,若发现不符合建模要求,就要修改或增减建模假设条款,重新构造模型,直到符合要求。若模型符合要求,则可以对模型进行评价是、预测民、优化等方面的探析,力争得到最优模型。

6.模型检验

对于经过分析后符合要求的模型,还要把它放回到实际对象中去进行检验,看它是否符合实际,能否解决相应的实际问题。若不符合实际,就要修改前提假设,重新建模,重新分析,直到获得符合实际的模型。

7.模型应用

建模最终目的,是用模型来分析、研究和解决实际问题。因此,一个成功和数学模型必须能够在实践中得到成功的应用,甚至形成一套科学和理论。图13――1是上述各步骤的直观图:

建模准备 构建模型 建模假设 (分析实际问题 (抽象、简化) 确立课题) 模型求解 模型分析 模型分析 模型应用 (是否相符 (是否相符) 图13――1数学建模步骤示意图

一、 数学模型的分类

数学模型按照不同的分类标准有许多种类:

1.按照模型的数学方法分,有几何模型、代数模型、图论模型、微分方程模型

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概率模型、最优控制模型、随机模型等等。

2.按模型的特征分,有静态模型和动态模型,确定性模型和随机模型,离散模型和连续性模型,线性模型和非线性模型等。

3.按模型的应用领域分,有人口模型、交通模型、经济模型、生态模型、资源模型、环境模型等。

4。按建模的目的分,有预测模型、优化模型、决策模型、控制模型等。 5.按夺模型结构的了解程度分,有白箱模型、灰箱模型、黑箱模型等。

§2线性规划问题及其数学模型

线性规划作为运筹学的一人重要分支,是研究较早,理论较完善,应用最广泛的一门科学。它所研究的问题主要包括两个方面:一是在一项任务确定后,如何以最低限度和成本(如人力、物力、资金和时间等)去完成这一任务;二是如何在现有条件下进行组织和安排,以完成更多的工作。因此,线性规划就是求一组变量的值,使它满足一组线性式子,并使一个线性函数的值最大(或最小)的数学方法。

一、运输问题

例1 设有A1,A2两个香蕉基地,产量分别为60吨和80吨,联合供应B1,B2,B3三个销地的销售量经预测分别为50吨、50吨和40吨。两个产地到三个销地的单位运价如下表所示:

表13――1运价表(单位:元/吨)

销地 单位动价 B1 B2 B3 产地

A1 600 300 400

A2 400 700 300

问每个产地向每个销地各发货多少,才能使总的运费最少?

解 (1)在该问题中,所要确定的量是各产地运往各销地的香蕉数量,即决策变量是运输量。设Xij(i=1,2; j =1,2,3)分别表示由产地Ai运往销地Bi的数量。 (2)在解决问题的过程中,要受到如下条件限制,即约束条件: ?各产地运出的数量应等于其产量,即

x x1121?x?x1222?x?x1323?60?80

②各销地运进的数量应等于其当地预测的销售量,即

x11?x21?50 x12?x22?50

x13?x23?40③从各产地运往各销地的数量不能为负值,即

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xij?0(i?1,2;j?1,2,3)

(3)该问题的目的是运价最低,所以运价是目标函数,即

S?600x11?300x12?400x12?400x21?700x22?300x23因此,该问题的数学模型为:求minS?600x11?300x12?400x13?400x21?700x22?300x23

结束条件 x?x?x?60x?x?x?80 x?x?50x?x?50x?x?40111213212223111213212223例1的一般形式是:设某种物资有m个产地

??AA,A,12m产量分别为

a,a,??a12m,,,??,Bn,,??,b3(吨)。有n个销地B1B2,销量分别为b1b2如果由

产地Ai运往销地Bj的单位运价为Cij(元/吨),在产销平衡的情况下,应如何调运才能使运费最省?

解 设xij表示由产地Ai运往销地Bj的数是(i=1,……,m;j=1,2,……,n) 则该问题数学模型为:

求变量xij的一组值,使它们满足 x?x11m112??+x1n=a1?...?xmn?am

.......................................

x?x?xx x?x1112m22122?...?xm1?b1?...?xm2?b2......................................xx1nij?x2n?...?xmn?bn?0(i?1,2,...,m;j?1,2,...,n)并使目标函数S?C11x11?C12x12?...?Cmnxmn的值最小。 二、生产组织与计划问题

例2 设某用A1,A2,...,Am种原料,生产B1,B2,...Bm 种产品,其中Bj 种产品每单位需要A1,A2,...Am原粉分别为;而该厂现有原料a1,a2,...,amj;的数量分别为

b,b,...,b,B,B,...,B各种产品每单位可是利润分别为CC,...,C12m12n1,2n 。在该厂产

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品全部能销售情况下,应如何组织生产,才能使该企业获得最大? 解 设生产产Bj中数量为xj(j?1,2,...,n),则此问题的数学模型为: 求一组变量 的值,使满足

ax?ax?...?ax?bax?ax?...?ax?b1111221nn12112222nn2..................................... 结束条件 ..........

max?ax?...?ax?bx?0(j?1,...,n)m1j1m22mnn并使目标函数S?C1x1?C2x2?...?Cnxn的值最大。 三、配料问题

例 设有A1,...,Am种原料,配制含有几种成分B1,B2,...,Bn的产品,要求产品中各种成分的含量不低于a1,a2,...an;不高于b1,b2,...,bn;Bj种成分在Ai种原料中的单位含量为,各种原料的单位价格依次为d1,d2,...dm.问如何调配原料,才能使产品符合要求,又使成本最低?

解 设xi表示每单位产品中原料Ai的使用量(即决策变量),i?1,2,...,m,则数学模型为:

求一组变量的值,使其满足

a?Cx?Cx?...?Cx?ba?Cx?Cx...?Cx?b1111212m1m2121222m2m21 约束条件 ........................................................an?C1nx1?C2nx2?...?Cmnxn?bnx?x?...?x?1x?0,(i?1,...,m)1i2m

并使目标函数S?d1x1?...?dmxm 最小。

二、线性规划问题数学模型的一般形式和标准形式

上面我们建立了经济领域中常见的实际问题的数学模型,尽管这些实际问题本身是多种多样的,但是它们的数学模型却具有相同的特征:要确定某些变量(决策变量)的一组值,使得在确定的确定的约束条件下,目标函数是取得最大值或最小值。其中,约束条件是决策变量的线性方程或线性不等式。目标函数是决策变量的线性函数。因此,我们把这种规划问题称为线性规划问题。同时,我们可以得到对于一个线性规划问题,其数学模型应具有如下形式:

求max(或min)S?C1x1?C2x2?Cnxn

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