第九讲 零点定理
【套路秘籍】---千里之行始于足下 1.函数的零点 (1)函数零点的定义
对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点． (2)三个等价关系
方程f(x)＝0有实数根?函数y＝f(x)的图象与x轴有交点?函数y＝f(x)有零点． (3)函数零点的判定(零点存在性定理)
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个 c 也就是方程f(x)＝0的根． 2．二次函数y＝ax＋bx＋c (a>0)的图象与零点的关系
2
二次函数y＝ax＋bx＋c (a>0)的图象 2Δ>0 Δ＝0 Δ<0 与x轴的交点 零点个数 3．一元二次方程根的分布情况 (x1,0)，(x2,0) 2 (x1,0) 1 无交点 0 设x1，x2是一元二次方程ax＋bx＋c＝0(a，b，c∈R，且a>0)的两实数根，则x1，x2的分布情况与一元二次方程的系数之间的关系如下表：(m，n，p为常数，且m 二、二分法 （1）二分法及步骤 对于在区间[a,b]上连续不断，且满足f(a)?f(b)?0的函数y?f(x)，通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到函数零点近似值的方法叫做二分法。 （2）给定精确度?，用二分法求函数的零点近似值的步骤如下： 第一步：确定区间[a,b]，验证f(a)?f(b)?0，给定精确度?。 第二步：求区间(a,b)的中点x1。 第三步：计算f(x1)：①若f(x1)=0，则x1就是函数的零点；②若f(a)gf(x1)?0，则令b?x1（此时零点 2 x0?(a,x1)）③若f(x1)gf(b)?0，则令a?x1（此时零点x0?(x1,b)） 第四步：判断是否达到精确度?即若a?b??，则得到零点值a或b，否则重复第二至第四步。 1 【修炼套路】---为君聊赋《今日诗》，努力请从今日始 考向一 零点区间 【例1】判断下列函数在给定区间上是否存在零点． (1)f(x)＝x－3x－18，x∈[1,8]； (2)f(x)＝x－x－1，x∈[－1,2]； (3)f(x)＝log2(x＋2)－x，x∈[1,3]． 【答案】见解析 【解析】(1)方法一 因为f(1)＝－20<0，f(8)＝22>0，所以f(1)f(8)<0， 故f(x)＝x－3x－18在[1,8]上存在零点． 方法二 令x－3x－18＝0，解得x＝－3或6，所以函数f(x)＝x－3x－18在[1,8]上存在零点． (2)因为f(－1)＝－1<0，f(2)＝5>0，f(－1)f(2)<0，故f(x)＝x－x－1在[－1,2]上存在零点． (3)因为f(1)＝log2(1＋2)－1＝log23－1>log22－1＝0， 3 2 2 232 f(3)＝log2(3＋2)－3＝log25－3 所以f(1)f(3)<0，故f(x)＝log2(x＋2)－x在[1,3]上存在零点 【套路总结】 判断函数零点所在区间的三种方法 1．解方程法：当对应方程f(x)＝0易解时，可先解方程，然后再看求得的根是否落在给定区间上． 2．定义法：利用函数零点的存在性定理，首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)<0.若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点． 3．图象法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断． 【举一反三】 1－xlog2x的零点所在区间是( ) 1.函数f?x?＝A．(,) B．(,1) C．?1,2? D．?2,3? 【答案】C 11131113?1??1?【解析】f??＝1－log2＝1＋＝＞0，f??＝1－log2＝1＋＝＞0， 44222222?4??2? 114212f（1）＝1－0＝1＞0，f（2）＝1－2log22＝－1＜0，由f（1）f（2）＜0知选C． 2.已知函数f?x?＝lnx－()x?2的零点为x0，则x0所在的区间是( ) A．(0，1) 【答案】C 2 12B．(1，2) C．(2，3) D．(3，4) 【解析】∵f?x?＝lnx－()x?2在(0，＋∞)上是增函数，又f?1?＝ln1－()?1?ln1?2?0， 1212113)． f?2?＝ln2－()0?ln2?1?0，f?3?＝ln3－．故f(x)的零点x0?(2，223．若a 【解析】 ∵a B．(－∞，a)和(a，b)内 D．(－∞，a)和(c，＋∞)内 f(b)＝(b－c)(b－a)<0，f(c)＝(c－a)(c－b)>0， 由函数零点存在性定理可知，在区间(a，b)，(b，c)内分别存在零点，又函数f(x)是二次函数，最多有两个零点．因此函数f(x)的两个零点分别位于区间(a，b)，(b，c)内，故选A. 4．设f(x)＝ln x＋x－2，则函数f(x)的零点所在的区间为( ) A．(0,1) B．(1,2) C．(2,3) D．(3,4) 【答案】 B 【解析】 解法一：函数f(x)的零点所在的区间可转化为函数g(x)＝ln x，h(x)＝－x＋2图象交点的横坐标所在的取值范围．作图如下： 可知f(x)的零点所在的区间为(1,2)．故选B. 解法二：易知f(x)＝ln x＋x－2在(0，＋∞)上为增函数，且f(1)＝1－2＝－1<0，f(2)＝ln 2>0. 所以根据函数零点存在性定理可知在区间(1,2)内函数存在零点．故选B. 考向二 零点个数 【例2】函数f(x)＝2|log0.5x|－1的零点个数为( ) A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】 B x?1?xx【解析】 令f(x)＝2|log0.5x|－1＝0，得|log0.5x|＝??. ?2? ?1?x设g(x)＝|log0.5x|，h(x)＝??，在同一坐标系下分别画出函数g(x)，h(x)的图象(如图)．由图象知，两函 ?2? 3