第1章 随机事件及其概率课后习题答案(高教出版社,浙江大学)

第1章 随机事件及其概率习题解答

17,将一枚硬币抛两次,以A,B,C分别记事件“第一次得H”,“第二次得H”,“两次得同一面”。试验证A和B,B和C,C和A分别相互独立(两两独立),但A,B,C不是相互独立。 解:根据题意,求出以下概率为

P(A)?P(B)?P(AB)?12?1212?,

14P(C)?12?12?12?1212??1212?;

14,

P(BC)?P(CA)?,P(ABC)?12?12?14。

所以有

P(AB)?P(A)P(B),P(AC)?P(A)P(C),P(BC)?P(B)P(C)。

即表明A和B,B和C,C和A两两独立。但是

P(ABC)?P(A)P(B)P(C)

所以A,B,C不是相互独立。

18,设A,B,C三个运动员自离球门25码处踢进球的概率依次为0.5, 0.7, 0.6,设A,B,C各在离球门25码处踢一球,设各人进球与否相互独立,求(1)恰有一人进球的概率;(2)恰有二人进球的概率;(3)至少有一人进球的概率。

解:设“A,B,C进球”分别记为事件Ni(i?1,2,3)。 (1)设恰有一人进球的概率为p1,则

p1?P{N1N2N3}?P{N1N2N3}?P{N1N2N3}

?P(N1)P(N2)P(N3)?P(N1)P(N2)P(N3)?P(N1)P(N2)P(N3) (由独立性)

?0.5?0.3?0.4?0.5?0.7?0.4?0.5?0.3?0.6 ?0.29

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第1章 随机事件及其概率习题解答

(2)设恰有二人进球的概率为p2,则

p2?P{N1N2N3}?P{N1N2N3}?P{N1N2N3}

?P(N1)P(N2)P(N3)?P(N1)P(N2)P(N3)?P(N1)P(N2)P(N3)

(由独立性)

?0.5?0.7?0.4?0.5?0.7?0.6?0.5?0.3?0.6 ?0.44

(3)设至少有一人进球的概率为p3,则

p3?1?P{N1N2N3}?1?P(N1)P(N2)P(N3)?1?0.5?0.3?0.4?0.94。

19,有一危重病人,仅当在10分钟之内能有一供血者供给足量的A-RH+血才能得救。设化验一位供血者的血型需要2分钟,将所需的血全部输入病人体内需要2分钟,医院只有一套验血型的设备,且供血者仅有40%的人具有该型血,各人具有什么血型相互独立。求病人能得救的概率。

解:根据题意,医院最多可以验血型4次,也就是说最迟可以第4个人才验出是A-RH+型血。问题转化为最迟第4个人才验出是A-RH+型血的概率是多少?因为

第一次就检验出该型血的概率为0.4;

第二次才检验出该型血的概率为0.6?0.4=0.24; 第三次才检验出该型血的概率为0.62?0.4=0.144; 第四次才检验出该型血的概率为0.63?0.4=0.0864; 所以病人得救的概率为0.4+0.24+0.144+0.0864=0.8704

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第1章 随机事件及其概率习题解答

20,一元件(或系统)能正常工作的概率称为元件(或系统)的可靠性。如图设有5个独立工作的元件1,2,3,4,5按先串联再并联的方式连接,设元件的可靠性均为p,试求系统的可靠性。 解:设“元件i能够正常工作”记为事件Ai(i?1,2,3,4,5)。 那么系统的可靠性为

P{(A1A2)?(A3)?(A4A5)}?P(A1A2)?P(A3)?P(A4A5)

1 3 4 第20题 2 5 ?P(A1A2A3)?P(A1A2A4A5)?P(A3A4A5)?P(A1A2A3A4A5)

?P(A1)P(A2)?P(A3)?P(A4)P(A5)?P(A1)P(A2)P(A3)?P(A1)P(A2)P(A4)P(A5)

?P(A3)P(A4)P(A5)?P(A1)P(A2)P(A3)P(A4)P(A5)

?p?p?p?p?p?p?p?p?2p?2p?p?p2345223435

21,用一种检验法检测产品中是否含有某种杂质的效果如下。若真含有杂质检验结果为含有的概率为0.8;若真不含有杂质检验结果为不含有的概率为0.9,据以往的资料知一产品真含有杂质或真不含有杂质的概率分别为0.4,0.6。今独立地对一产品进行了3次检验,结果是2次检验认为含有杂质,而一次检验认为不含有杂质,求此产品真含有杂质的概率。(注:本题较难,灵活应用全概率公式和Bayes公式)

解:设“一产品真含有杂质”记为事件A,“对一产品进行3次检验,结果是2次检验认为含有杂质,而1次检验认为不含有杂质”记为事件B。则要求的概率为P(A|B),根据Bayes公式可得

P(A|B)?P(A)P(B|A)P(A)P(B|A)?P(A)P(B|A)

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第1章 随机事件及其概率习题解答

又设“产品被检出含有杂质”记为事件C,根据题意有P(A)?0.4,而且P(C|A)?0.8,P(C22|A)?0.9,所以 ;P(B|A)?C23P(B|A)?C3?0.8?(1?0.8)?0.384?(1?0.9)?0.9?0.0272

故,

P(A|B)?P(A)P(B|A)P(A)P(B|A)?P(A)P(B|A)?0.4?0.3840.4?0.384?0.6?0.027?0.15360.1698?0.9046

(第1章习题解答完毕)

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