§1.2 命题及其关系、充分条件与必要条件
考情考向分析 命题的真假判断和充分、必要条件的判定是考查的主要形式，多与集合、函数、不等式、立体几何中的线面关系相交汇，考查学生的推理能力，题型为填空题，低档难度．
1．命题
用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题，其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题． 2．四种命题及其相互关系 (1)四种命题间的相互关系
(2)四种命题的真假关系
①两个命题互为逆否命题，它们具有相同的真假性；
②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系． 3．充分条件、必要条件与充要条件的概念
一般地，如果p?q，那么称p是q的充分条件，q是p的必要条件 p是q的充分不必要条件 p是q的必要不充分条件 p是q的充要条件 p是q的既不充分又不必要条件
知识拓展
从集合的角度理解充分条件与必要条件
若p以集合A的形式出现，q以集合B的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则关于充分条件、必要条件又可以叙述为：
如果p?q，且q如果pp q，且q?p p?q 如果pq，且qp (1)若A?B，则p是q的充分条件； (2)若A?B，则p是q的必要条件； (3)若A＝B，则p是q的充要条件； (4)若AB，则p是q的充分不必要条件； (5)若AB，则p是q的必要不充分条件；
(6)若A?B且A?B，则p是q的既不充分又不必要条件．
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)“对顶角相等”是命题．( √ )
(2)命题“若p，则q”的否命题是“若p，则綈q”．( × ) (3)当q是p的必要条件时，p是q的充分条件．( √ )
(4)当p是q的充要条件时，也可说成q成立当且仅当p成立．( √ ) (5)若p是q的充分不必要条件，则綈p是綈q的必要不充分条件．( √ ) 题组二 教材改编
2．[P8习题T2]下列命题是真命题的是________．(填序号) ①矩形的对角线相等； ②若a＞b，c＞d，则ac＞bd； ③若整数a是素数，则a是奇数； ④命题“若x2＞0，则x＞1”的逆否命题． 答案 ①
3．[P7例1]“x－3＝0”是“(x－3)(x－4)＝0”的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”) 答案 充分不必要 题组三 易错自纠
4．命题“若x2>y2，则x>y”的逆否命题是________． 答案 若x≤y，则x2≤y2
解析 根据原命题和其逆否命题的条件和结论的关系，得命题“若x2>y2，则x>y”的逆否命题是“若x≤y，则x2≤y2”．
5．“sin α>0”是“α是第一象限角”的________条件． 答案 必要不充分
解析 由sin α>0，可得α是第一或第二象限角及终边在y轴正半轴上；若α是第一象限角，则sin α>0，所以“sin α>0”是“α是第一象限角”的必要不充分条件．
?1x?
<2<8，x∈R?，B＝{x|－1 ? ? 必要条件是x∈A，则实数m的取值范围是____________． 答案 (2，＋∞) ?1x? <2<8，x∈R?＝{x|－1 ? ? ∵x∈B成立的一个充分不必要条件是x∈A， ∴AB，∴m＋1>3，即m>2. 题型一 命题及其关系 1．下列命题是真命题的是________．(填序号) 11 ①若＝，则x＝y； xy②若x2＝1，则x＝1； ③若x＝y，则x＝y； ④若x＜y，则x2＜y2. 答案 ① 2．某食品的广告词为“幸福的人们都拥有”，这句话的等价命题是________． 答案 不拥有的人们不幸福 3．下列命题： ①“若a2 ③“若a>1，则ax2－2ax＋a＋3>0的解集为R”的逆否命题； ④“若3x(x≠0)为有理数，则x为无理数”的逆否命题． 其中正确的命题是________． 答案 ③④ 解析 对于①，否命题为“若a2≥b2，则a≥b”，为假命题；对于②，逆命题为“面积相等的三角形是全等三角形”，为假命题；对于③，当a>1时，Δ＝－12a<0，原命题正确，从而其逆否命题正确，故③正确；对于④，原命题正确，从而其逆否命题正确，故④正确． 4．设m∈R，命题“若m＞0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是__________． 答案 若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0 思维升华 (1)写一个命题的其他三种命题时，需注意： ①对于不是“若p，则q”形式的命题，需先改写； ②若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提．