2019届高考数学一轮复习备考讲义(江苏专版)第一章集合与常用逻辑用语1.2Word版含答案

§1.2 命题及其关系、充分条件与必要条件

考情考向分析 命题的真假判断和充分、必要条件的判定是考查的主要形式,多与集合、函数、不等式、立体几何中的线面关系相交汇,考查学生的推理能力,题型为填空题,低档难度.

1.命题

用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句叫做命题,其中判断为真的语句叫做真命题,判断为假的语句叫做假命题. 2.四种命题及其相互关系 (1)四种命题间的相互关系

(2)四种命题的真假关系

①两个命题互为逆否命题,它们具有相同的真假性;

②两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性没有关系. 3.充分条件、必要条件与充要条件的概念

一般地,如果p?q,那么称p是q的充分条件,q是p的必要条件 p是q的充分不必要条件 p是q的必要不充分条件 p是q的充要条件 p是q的既不充分又不必要条件

知识拓展

从集合的角度理解充分条件与必要条件

若p以集合A的形式出现,q以集合B的形式出现,即A={x|p(x)},B={x|q(x)},则关于充分条件、必要条件又可以叙述为:

如果p?q,且q如果pp q,且q?p p?q 如果pq,且qp (1)若A?B,则p是q的充分条件; (2)若A?B,则p是q的必要条件; (3)若A=B,则p是q的充要条件; (4)若AB,则p是q的充分不必要条件; (5)若AB,则p是q的必要不充分条件;

(6)若A?B且A?B,则p是q的既不充分又不必要条件.

题组一 思考辨析

1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)“对顶角相等”是命题.( √ )

(2)命题“若p,则q”的否命题是“若p,则綈q”.( × ) (3)当q是p的必要条件时,p是q的充分条件.( √ )

(4)当p是q的充要条件时,也可说成q成立当且仅当p成立.( √ ) (5)若p是q的充分不必要条件,则綈p是綈q的必要不充分条件.( √ ) 题组二 教材改编

2.[P8习题T2]下列命题是真命题的是________.(填序号) ①矩形的对角线相等; ②若a>b,c>d,则ac>bd; ③若整数a是素数,则a是奇数; ④命题“若x2>0,则x>1”的逆否命题. 答案 ①

3.[P7例1]“x-3=0”是“(x-3)(x-4)=0”的________条件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”) 答案 充分不必要 题组三 易错自纠

4.命题“若x2>y2,则x>y”的逆否命题是________. 答案 若x≤y,则x2≤y2

解析 根据原命题和其逆否命题的条件和结论的关系,得命题“若x2>y2,则x>y”的逆否命题是“若x≤y,则x2≤y2”.

5.“sin α>0”是“α是第一象限角”的________条件. 答案 必要不充分

解析 由sin α>0,可得α是第一或第二象限角及终边在y轴正半轴上;若α是第一象限角,则sin α>0,所以“sin α>0”是“α是第一象限角”的必要不充分条件.

?1x?

<2<8,x∈R?,B={x|-1

?

?

必要条件是x∈A,则实数m的取值范围是____________. 答案 (2,+∞)

?1x?

<2<8,x∈R?={x|-1

?

?

∵x∈B成立的一个充分不必要条件是x∈A, ∴AB,∴m+1>3,即m>2.

题型一 命题及其关系

1.下列命题是真命题的是________.(填序号) 11

①若=,则x=y;

xy②若x2=1,则x=1; ③若x=y,则x=y; ④若x<y,则x2<y2. 答案 ①

2.某食品的广告词为“幸福的人们都拥有”,这句话的等价命题是________. 答案 不拥有的人们不幸福 3.下列命题:

①“若a2

③“若a>1,则ax2-2ax+a+3>0的解集为R”的逆否命题; ④“若3x(x≠0)为有理数,则x为无理数”的逆否命题. 其中正确的命题是________. 答案 ③④

解析 对于①,否命题为“若a2≥b2,则a≥b”,为假命题;对于②,逆命题为“面积相等的三角形是全等三角形”,为假命题;对于③,当a>1时,Δ=-12a<0,原命题正确,从而其逆否命题正确,故③正确;对于④,原命题正确,从而其逆否命题正确,故④正确. 4.设m∈R,命题“若m>0,则方程x2+x-m=0有实根”的逆否命题是__________. 答案 若方程x2+x-m=0没有实根,则m≤0 思维升华 (1)写一个命题的其他三种命题时,需注意: ①对于不是“若p,则q”形式的命题,需先改写; ②若命题有大前提,写其他三种命题时需保留大前提.

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