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1、正项级数的审敛法——根植审敛法(柯西判别法):???1时,级数收敛?设:??limnun,则???1时,级数发散n?????1时,不确定?2、比值审敛法:???1时,级数收敛U?设:??limn?1,则???1时,级数发散n??Un???1时,不确定?3、定义法:sn?u1?u2???un;limsn存在,则收敛;否则发散。n??

交错级数u1?u2?u3?u4??(或?u1?u2?u3??,un?0)的审敛法——莱布尼兹定理:??un?un?1如果交错级数满足s?u1,其余项rn的绝对值rn?un?1。?limu?0,那么级数收敛且其和??n??n绝对收敛与条件收敛:

(1)u1?u2???un??,其中un为任意实数;(2)u1?u2?u3???un??如果(2)收敛,则(1)肯定收敛,且称为绝对收敛级数;如果(2)发散,而(1)收敛,则称(1)为条件收敛级数。 1(?1)n调和级数:?n发散,而?n收敛;1  级数:?n2收敛;p?1时发散1  p级数:?np  p?1时收敛幂级数:

1x?1时,收敛于1?x1?x?x2?x3???xn??  x?1时,发散对于级数(3)a0?a1x ?a2x2???anxn??,如果它不是仅在原点收敛,也不是在全x?R时收敛数轴上都收敛,则必存在R,使x?R时发散,其中R称为收敛半径。x?R时不定1??0时,R?求收敛半径的方法:设liman?1??,其中an,an?1是(3)的系数,则??0时,R???n??an????时,R?0?函数展开成幂级数:

f??(x0)f(n)(x0)2函数展开成泰勒级数:f(x)?f(x0)(x?x0)?(x?x0)???(x?x0)n??2!n!f(n?1)(?)余项:Rn?(x?x0)n?1,f(x)可以展开成泰勒级数的充要条件是:limRn?0n??(n?1)!f??(0)2f(n)(0)nx0?0时即为麦克劳林公式:f(x)?f(0)?f?(0)x?x???x??2!n!一些函数展开成幂级数:

m(m?1)2m(m?1)?(m?n?1)nx???x??   (?1?x?1)2!n! 2n?1x3x5xsinx?x?????(?1)n?1??   (???x???)3!5!(2n?1)!(1?x)m?1?mx?欧拉公式:

?eix?e?ixcosx???2 eix?cosx?isinx   或?ix?ix?sinx?e?e?2?三角级数:

a0?f(t)?A0??Ansin(n?t??n)???(ancosnx?bnsinnx)2n?1n?1其中,a0?aA0,an?Ansin?n,bn?Ancos?n,?t?x。正交性:1,sinx,cosx,sin2x,cos2x?sinnx,cosnx?任意两个不同项的乘积在[??,?]上的积分=0。傅立叶级数:

?

a0?f(x)???(ancosnx?bnsinnx),周期?2?2n?1??1(n?0,1,2?)?an??f(x)cosnxdx   ????其中???b?1f(x)sinnxdx   (n?1,2,3?)?n?????11?21?2?2???835 111?2?2?2???224246正弦级数:an?0,bn?余弦级数:bn?0,an?111?21?2?2?2???(相加)6234111?21?2?2?2???(相减)12234f(x)sinnxdx  n?1,2,3? f(x)??b??02?nsinnx是奇函数2???0f(x)cosnxdx  n?0,1,2? f(x)?a0??ancosnx是偶函数2

周期为2l的周期函数的傅立叶级数:

a0?n?xn?xf(x)???(ancos?bnsin),周期?2l2n?1lll?1n?xdx   (n?0,1,2?)?an??f(x)cosl?ll?其中?l?b?1f(x)sinn?xdx   (n?1,2,3?)?nl?l?l?

微分方程的相关概念:

一阶微分方程:y??f(x,y) 或 P(x,y)dx?Q(x,y)dy?0可分离变量的微分方程:一阶微分方程可以化为g(y)dy?f(x)dx的形式,解法:?g(y)dy??f(x)dx  得:G(y)?F(x)?C称为隐式通解。dyy?f(x,y)??(x,y),即写成的函数,解法:dxxydydududxduy设u?,则?u?x,u???(u),??分离变量,积分后将代替u,xdxdxdxx?(u)?ux齐次方程:一阶微分方程可以写成即得齐次方程通解。一阶线性微分方程:

dy1、一阶线性微分方程:?P(x)y?Q(x)dx?P(x)dx当Q(x)?0时,为齐次方程,y?Ce?当Q(x)?0时,为非齐次方程,y?(?Q(x)e?dy2、贝努力方程:?P(x)y?Q(x)yn,(n?0,1)dx全微分方程:

P(x)dxdx?C)e??P(x)dx

如果P(x,y)dx?Q(x,y)dy?0中左端是某函数的全微分方程,即:?u?udu(x,y)?P(x,y)dx?Q(x,y)dy?0,其中:?P(x,y),?Q(x,y)

?x?y?u(x,y)?C应该是该全微分方程的通解。二阶微分方程:

f(x)?0时为齐次d2ydy?P(x)?Q(x)y?f(x), 2dxdxf(x)?0时为非齐次二阶常系数齐次线性微分方程及其解法:

(*)y???py??qy?0,其中p,q为常数;求解步骤:1、写出特征方程:(?)r2?pr?q?0,其中r2,r的系数及常数项恰好是(*)式中y??,y?,y的系数;2、求出(?)式的两个根r1,r23、根据r1,r2的不同情况,按下表写出(*)式的通解:

r1,r2的形式 两个不相等实根(p?4q?0) 两个相等实根(p?4q?0) 一对共轭复根(p?4q?0) 222(*)式的通解 y?c1er1x?c2er2x y?(c1?c2x)er1x y?e?x(c1cos?x?c2sin?x) r1???i?,r2???i?4q?p2 p???,??22二阶常系数非齐次线性微分方程

y???py??qy?f(x),p,q为常数f(x)?e?xPm(x)型,?为常数;f(x)?e?x[Pl(x)cos?x?Pn(x)sin?x]型

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