方法专题:中点的妙用
联想是一种非常重要的数学品质。善于联想，才能更好的寻求解决问题的方法。同学们当你遇到中点时，你会产生哪些联想呢？学习完这个专题后，能给你带来一定的启示。
看到中点该想到什么？
1、等腰三角形中遇到底边上的中点，常联想“三线合一”的性质；
2、直角三角形中遇到斜边上的中点，常联想“斜边上的中线，等于斜边的一半”； 3、三角形中遇到两边的中点，常联想“三角形的中位线定理”；
4、两条线段相等，为全等提供条件（遇到两平行线所截得的线段的中点时，常联想“八字型”全等三角形）；
5、有中点时常构造垂直平分线；
6、有中点时，常会出现面积的一半（中线平分三角形的面积）； 7、倍长中线
8、圆中遇到弦的中点，常联想“垂径定理” 中点辅助线模型
一、等腰三角形中遇到底边上的中点，常联想“三线合一”的性质
1、如图1所示，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，点M为BC中点，MN⊥AC于点N，则MN等于（ ）
A．
二、直角三角形中遇到斜边上的中点，常联想“斜边上的中线，等于斜边的一半”
2、如图，在Ｒｔ⊿ABC中，∠A=90°,AC=AB,M、N分别在AC、AB上。且AN=BM.O为斜边BC的中点.试判断△OMN的形状，并说明理由.
691216 B． C． D．5555
A M N B O C 3、如图，正方形ABCD的边长为2, 将长为2的线段QF的两端放在正方形相邻的两边上同时滑动．如果点Q从点A出发，沿图中所示方向按A?B?C?D?A滑动到点A为止，同时点F从点B出发，沿图中所示方向按B?C?D?A?B滑动到点B为止，那么在这个过程中，线段QF的中点M所经过的路线围成的图形的面积为（ ） A. 2 B. 4－? C.? D.??1
AQMBD 1
CF 第8题图
三、三角形中遇到两边的中点，常联想“三角形的中位线定理” 4、（直接找线段的中点，应用中位线定理） 如图，已知四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，且AC=BD，M、N分别是AB、CD的中点，MN分别交BD、AC于点E、F.你能说出OE与OF的大小关系并加以证明吗？
5、（利用等腰三角形的三线合一找中点，应用中位线定理）
如图所示，在三角形ABC中，AD是三角形ABC∠BAC的角平分线，BD⊥AD，点D是垂足，点E是边BC的中点，如果AB=6,AC=14，求DE的长
DAEFNMB图2-1C
6、（利用平行四边形对角线的交点找中点，应用中位线定理）
如图所示，AB∥CD，BC∥AD ，DE⊥BE ，DF=EF，甲从B出发，沿着BA、AD、DF的方向运动，乙B出发，沿着BC、CE、EF的方向运动，如果两人的速度是相同的，且同时从B出发，则谁先到达F点？
7、（综合使用斜边中线及中位线性质，证明相等关系问题）
如图，等腰梯形ABCD中，CD∥AB，对角线AC、BD相交于点O，
DSC?ACD?60?，点S、P、Q分别是DO、AO、BC的中点.
O求证：△SPQ是等边三角形。
P
A 图 6-1
AD四、两条线段相等，为全等提供条件（遇到两平行线所截得的线段的中点时，常联想“八字型”全等三角形）
8、如图：梯形ABCD中，∠A=90°,AD//BC,AD=1,BC=2,CD=3,
EE为AB中点，求证：DE⊥EC
B
QBC 2
9、如图甲，在正方形ABCD和正方形CGEF（CG＞BC）中，点B、C、G在同一直线上，M是AE的中点，（1）探究线段MD、MF的位置及数量关系，并证明；
（2）将图甲中的正方形CGEF绕点C顺时针旋转，使正方形CGEF的对角线CE恰好与正方形ABCD的边BC在同一条直线上，原问题中的其他条件不变。（1）中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明 F F E D A M A M D B E C
B C G
G A 图甲 图乙
五、有中点时常构造垂直平分线
110、如图所示，在△ABC中，AD是BC边上中线，∠C=2∠B.AC=2BC。
求证：△ADC为等边三角形。
六、有中点时，常会出现面积的一半（中线平分三角形的面积） 11、（1）探索：已知?ABC的面积为a，
①如图1，延长?ABC的边BC到点D，使CD=BC，连接DA，若
B D C ?ACD的面积为S1，则S1= （用含a的代数式表示）
②如图2，延长?ABC的边BC到点D，延长边CA到点E，使CD=BC，AE=CA，连接DE，若?DEC的面积为S2，则S2= （用含a的代数式表示）
③在图2的基础上延长AB到点F,使BF=AB,连接FD，FE,得到?DEF（如图3），若阴影部分的面积为S3，S3= （用含a的代数式表示）
⑵发现：像上面那样，将?ABC各边均顺次延长一倍，连接所得端点，得到?DEF（如图4），此时，我们称?ABC向外扩展了一次。可以发现，扩展一次后得到的?DEF的面积是原来?ABC面积的 倍 ⑶应用：如图5，若△ABC面积为1，第一次操作：分别延长AB，BC，CA至点A1，B1，C1，使得A1B=AB，B1C= BC，C1A=CA，顺次连结A1，B1，C1，得到△A1B1C1. 第二次操作：分别延长A1B1，B1C1，C1A1至点A2，B2，C2，使A2B1= A1B1，B2C1= B1C1，C2A1= C1A1，顺次连结A2，B2，C2，得到△A2B2C2，第三次操作… ，按此规律，要使得到的三角形的面积超过2010，最少要经过 次操作. ．．．
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