§1.2 充要条件、全称量词与存在量词
最新考纲 1.理解必要条件、充分条件与充要条件的意义.2.通过生活和数学中的丰富实例,理解全称量词和存在量词的意义,能正确地对含有一个量词的命题进行否定.
1.充分条件、必要条件与充要条件的概念
若p?q,则p是q的充分条件,q是p的必要条件 p是q的充分不必要条件 p是q的必要不充分条件 p是q的充要条件 p是q的既不充分也不必要条件
2.全称量词和存在量词
(1)全称量词:短语“所有的”“任意一个”等在逻辑中通常叫做全称量词,用符号“?”表示.
(2)存在量词:短语“存在一个”“至少有一个”等在逻辑中通常叫做存在量词,用符号“?”表示.
3.全称命题、特称命题及含一个量词的命题的否定
命题名称 全称命题 语言表示 对M中任意一个x,有p(x)成立 存在M中的一个x0,使p(x0)成立 符号表示 ?x∈M,p(x) 命题的否定 ?x0∈M,綈p(x0) p?q且q?p p?q且q?p p?q p?q且q?p 特称命题
概念方法微思考
?x0∈M,p(x0) ?x∈M,綈p(x) 若条件p,q以集合的形式出现,即A＝{x|p(x)},B＝{x|q(x)},则由A?B可得,p是q的充分条件,请写出集合A,B的其他关系对应的条件p,q的关系. 提示 若AB,则p是q的充分不必要条件； 若A?B,则p是q的必要条件； 若AB,则p是q的必要不充分条件；
若A＝B,则p是q的充要条件；
若A?B且A?B,则p是q的既不充分也不必要条件.
题组一 思考辨析
1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)q是p的必要条件时,p是q的充分条件.( √ )
(2)若p是q的充要条件,则命题p和q是两个等价命题.( √ ) (3)全称命题一定含有全称量词.( × )
(4)?x0∈M,p(x0)与?x∈M,綈p(x)的真假性相反.( √ ) 题组二 教材改编
2.命题“正方形都是矩形”的否定是___________________________. 答案 存在一个正方形,这个正方形不是矩形
3.“x－3＝0”是“(x－3)(x－4)＝0”的______条件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”) 答案 充分不必要 题组三 易错自纠
4.(2018·郑州质检)命题“?x0∈R,x2
0－x0－1>0”的否定是( )
A.?x∈R,x2－x－1≤0 B.?x∈R,x2－x－1>0
C.?x0∈R,x20－x0－1≤0 D.?x0∈R,x2
0－x0－1≥0
答案 A
5.已知p:x>a是q:2＜x＜3的必要不充分条件,则实数a的取值范围是________. 答案 (－∞,2]
【解析】 由已知,可得{x|2＜x＜3}{x|x>a}, ∴a≤2.
6.若“?x∈??0，π
4??,tan x≤m”是真命题,则实数m的最小值为________. 答案 1
【解析】 ∵函数y＝tan x在??0，π
4??上是增函数, ∴yπ
max＝tan 4＝1.依题意知,m≥ymax,即m≥1.
∴m的最小值为1.
题型一 充分、必要条件的判定
例1 (1)已知α,β均为第一象限角,那么“α>β”是“sin α>sin β”的( ) A.充分不必要条件 C.充要条件 答案 D
7ππ
【解析】 取α＝,β＝,α>β成立,而sin α＝sin β,sin α>sin β不成立.
33∴充分性不成立；
π13π
取α＝,β＝,sin α>sin β,但α＜β,必要性不成立.
36故“α>β”是“sin α>sin β”的既不充分也不必要条件. (2)已知条件p:x>1或x＜－3,条件q:5x－6>x2,则q是p的( ) A.充分不必要条件 C.充要条件 答案 A
【解析】 由5x－6>x2,得2＜x＜3,即q:2＜x＜3. 所以q?p,p?q,
所以q是p的充分不必要条件,故选A.
思维升华 充分条件、必要条件的三种判定方法
(1)定义法:根据p?q,q?p进行判断,适用于定义、定理判断性问题.
(2)集合法:根据p,q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断,多适用于命题中涉及字母范围的推断问题.
跟踪训练1 (1)(2018·福建省莆田一中月考)王安石在《游褒禅山记》中写道“世之奇伟、瑰怪,非常之观,常在于险远,而人之所罕至焉,故非有志者不能至也”,请问“有志”是到达“奇伟、瑰怪,非常之观”的( ) A.充要条件 C.充分不必要条件 答案 D
【解析】 非有志者不能至,是必要条件；但“有志”也不一定“能至”,不是充分条件. (2)(2018·济南模拟)若集合A＝{x|1＜x＜2},B＝{x|x>b,b∈R},则A?B的一个充分不必要条件是( ) A.b≥2
B.1＜b≤2
B.既不充分也不必要条件 D.必要不充分条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件