?033??200???233???????A?2E??110???020???1?10?.
??123??002???121???????A?2E?2,因此A?2E可逆.
?033???B?(A?2E)?1A???123?
?110???3..设PAP??,其中P??解:A?P?P?1,
?1??1?4???10?11,????? ,求A.
?11??02?4?213???1?4???10?1?14?1?1?213 A?P?P???????11??1111??4?2??11??02?3??1?1?3??1?21111?14.设3级方阵A,B满足2AB?B?4E,证明:A?2E可逆,并求其逆.
?1证明:2AB?B?4E两边同左乘以A得到2B?AB?4A.因此有
?1(A?2E)B?4A.由A可逆可得A?2E,且(A?2E)?1?1?1BA. 4?15.设A是一个n级方阵,且R(A)?r,证明:存在一个n级可逆矩阵P使PAP的后n?r行全为零.
证明:R(A)?r,因此矩阵A可以经过一系列行初等变换化为后n?r行全为零.也即存在初等矩阵P使得P后n?r行全为零. P?P1,P1,?,Pm,m?P2PA1m?P2P1,则PA的后n?r行全为零.由矩阵乘法运算可得PAP的后n?r行全为零.
6.设矩阵Am?n,Bn?m,且m?n,AB?E,证明:A的行向量组线性无关. 证明:由m?n,AB?E可得m?r(AB)?r(A)?m,因此r(A)?m.因此A的行向量组线性无关.
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?17.如果A2?A,称A为幂等矩阵.设A,B为n阶幂等矩阵,证明:A?B是幂等矩阵的充要条件是AB?BA?0.
证明:当A?B时幂等阵时,
(A?B)2?A2?AB?BA?B2?A?AB?BA?B?A?B.
因此AB?BA?0.
反之,当AB?BA?0.时有
(A?B)2?A2?AB?BA?B2?A?AB?BA?B?A?B.
A?B是幂等矩阵.
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