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专题05 常见函数与导数中的不等关系
一、拉格朗日中值定理 若函数f(x)满足如下条件： （1）f(x)在闭区间?a,b?上连续； （2）f(x)在开区间?a,b?上可导；
则在区间?a,b?上至少存在一点?，使得f'(?)?
f(b)?f(a)
b?a几何意义：在闭区间?a,b?上有一条连续曲线，曲线上每一点都存在切线，则曲线上至少存在一点M（?，f(?)），过点M的切线平行于割线AB
二、四类基本初等函数结论及推导
,(x2,f(x2)（),x1?x2），过A、B两点直线的斜率设函数y?f(x)上任意两点A(x1,f(x1))Bk1?f(x2)?f(x1)x?x2，A、B两点中点的横坐标为1， y?f(x)在中点横坐标处的切线斜率
x2?x12k2?f'(x1?x2)，y?f(x)在A点处切线的斜率k3?f'(x1)，y?f(x)在B点处切线的斜率k4?f'(x2) 2注：下面论述中都是假设x1?x2，k1,k2,k3,k4都与上述表示是一致的。
2（1）对于函数f(x)?ax?bx?c,(a?0)，则k3?k1?k2?k4
证明：
（2）对于函数f(x)?lnx，则k4?k2?k1?k3
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k1?f(x2)?f(x1)lnx2?lnx1x?x22?)?，k2?f'(1x2?x1x2?x12x1?x2
k3?f'(x1)?11（0?x1?x2）， k4?f'(x2)?，
x1x2 21x1?x2???0，即k2?k3
x1?x2x1x1(x1?x2)证明：k2?k3?k2?k4?21x2?x1???0，即k2?k4
x1?x2x2x2(x1?x2)所以我们可以得到k4?k2?k3
yBxOA 图（1） 由图（1）可以看出割线的斜率大于B点处切线的斜率小于A点处切线的斜率，即k4?k1?k3其实，我们也可以借助拉格朗日中值定理的几何意义去解释为什么上述的不等关系是成立的。对于f(x)?lnx而言在区间?x1,x2?上是连续的，在区间?x1,x2?上是可导的，故在区间?x1,x2?上毕存在一点M（?，f(?)），使得过点M的切线斜率等于割线AB斜率，即k1?f'(?)?1?，（x1???x2），又因为f'(x)?1在区间?x1,x2?是单调减函数，故x111??，即k4?k1?k3
。x2?x1下面我们再用分析证明法证明k4?k1?k3
x2?1xxx11lnx2?lnx11x2?x1x2?x1?ln2?2?1???lnx2?lnx1???x2x1x1x2x2?x1x1x2x1x1
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证明方法1：先用分析证明的思想
k1?k2?xlnx2?lnx122(x2?x1)??lnx2?lnx1??ln2?x1x2?x1x1?x2x2?x12(x2?1)x1
x2?1x1令
x22(t?1)?t,(t?1)即证lnt?在t?(1,??)恒成立 x1t?114(t?1)22(t?1)??0 设g(t)?lnt?,t?(1,??)，因为g'(t)??t(t?1)2t(t?1)2t?1所以g(t)在区间上是单调递增函数，g(t)?g(1)?0，即lnt?（1，??）2(t?1)，得证。 t?1评述：上述方法是令
x2
?t，其思想就是将两个元变成一个元，最后变成一个关于t的函数，运用导数判断单调性x1
进而证明出结论。但并不是每一类函数都能够通过消元完成证明，后面讲正弦函数的时候你会发现换元法就不能很好的去发挥作用。因此在这里介绍证明的第二种方法。
证明方法2：既然我们假设的是x1?x2，那么我们可以这样去想，将x2看成是一个变化的常量，那么x1就是区间
（0，x2）上的任意一个数，那么我们就构造出一个关于x1的函数h(x1)，令h(x1)?lnx2?lnx1?2(x2?x1),x1?(0,x2)，对h(x1)进行求导得到
x1?x2※推 荐 下 载※