1.1.1 正弦定理(二)
课时目标
1．熟记正弦定理的有关变形公式；
2．能够运用正弦定理进行简单的推理与证明．
1．正弦定理：abcsin A＝sin B＝sin C＝2R的常见变形：
(1)sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c；
(2)abcasin A＝sin B＝sin C＝＋b＋csin A＋sin B＋sin C＝2R； (3)a＝2Rsin_A，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C；
(4)sin A＝abc2R，sin B＝2R，sin C＝2R.
2．三角形面积公式：S＝12absin C＝12bcsin A＝1
2
casin B.
一、选择题
1．在△ABC中，sin A＝sin B，则△ABC是( ) A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 答案 D
2．在△ABC中，若a＝b＝ccos Acos Bcos C，则△ABC是( )
A．直角三角形 B．等边三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 答案 B
解析 由正弦定理知：sin Asin Bsin Ccos A＝cos B＝cos C，
∴tan A＝tan B＝tan C，∴A＝B＝C.
3．在△ABC中，sin A＝3
4
，a＝10，则边长c的取值范围是( A.??15?2，＋∞???
B．(10，＋∞) C．(0,10) D.???0，403???
答案 D
解析 ∵csin C＝asin A＝403，∴c＝40
3sin C.
∴0 3 . 4．在△ABC中，a＝2bcos C，则这个三角形一定是( ) A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 答案 A ) 1 解析 由a＝2bcos C得，sin A＝2sin Bcos C， ∴sin(B＋C)＝2sin Bcos C， ∴sin Bcos C＋cos Bsin C＝2sin Bcos C， ∴sin(B－C)＝0，∴B＝C. 5．在△ABC中，已知(b＋c)∶(c＋a)∶(a＋b)＝4∶5∶6，则sin A∶sin B∶sin C等于( ) A．6∶5∶4 B．7∶5∶3 C．3∶5∶7 D．4∶5∶6 答案 B 解析 ∵(b＋c)∶(c＋a)∶(a＋b)＝4∶5∶6， b＋cc＋aa＋b∴＝＝. 456b＋cc＋aa＋b令＝＝＝k (k>0)， 456 b＋c＝4k?? 则?c＋a＝5k??a＋b＝6k ??5 ，解得?b＝k23?c＝?2ka＝k72 . ∴sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c＝7∶5∶3. 1 6．已知三角形面积为，外接圆面积为π，则这个三角形的三边之积为( ) 4 A．1 B．2 1 C. D．4 2 答案 A 2 解析 设三角形外接圆半径为R，则由πR＝π， 1abcabc1 得R＝1，由S△＝absin C＝＝＝，∴abc＝1. 24R44 二、填空题 1 7．在△ABC中，已知a＝32，cos C＝，S△ABC＝43，则b＝________. 3答案 23 122 解析 ∵cos C＝，∴sin C＝， 33 1 ∴absin C＝43，∴b＝23. 2 8．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知A＝60°，a＝3，b＝1，则c＝________. 答案 2 ab31 解析 由正弦定理＝，得＝， sin Asin Bsin 60°sin B1 ∴sin B＝，故B＝30°或150°.由a>b， 2 得A>B，∴B＝30°，故C＝90°， 由勾股定理得c＝2. 2 ab2c9．在单位圆上有三点A，B，C，设△ABC三边长分别为a，b，c，则＋＋ sin A2sin Bsin C＝________. 答案 7 解析 ∵△ABC的外接圆直径为2R＝2， ＝＝＝2R＝2， sin Asin Bsin Cab2c∴＋＋＝2＋1＋4＝7. sin A2sin Bsin C∴ abca＋b＋c10．在△ABC中，A＝60°，a＝63，b＝12，S△ABC＝183，则＝ sin A＋sin B＋sin C________，c＝________. 答案 12 6 a＋b＋ca63 解析 ＝＝＝12. sin A＋sin B＋sin Csin A3 2 11 ∵S△ABC＝absin C＝×63×12sin C＝183， 221ca∴sin C＝，∴＝＝12，∴c＝6. 2sin Csin A三、解答题 a－ccos Bsin B11．在△ABC中，求证：＝. b－ccos Asin A证明 因为在△ABC中，＝＝＝2R， sin Asin Bsin C2Rsin A－2Rsin Ccos B所以左边＝ 2Rsin B－2Rsin Ccos AsinB＋C－sin Ccos Bsin Bcos Csin B＝＝＝＝右边． sinA＋C－sin Ccos Asin Acos Csin Aa－ccos Bsin B所以等式成立，即＝. b－ccos Asin A22 12．在△ABC中，已知atan B＝btan A，试判断△ABC的形状． 22 解 设三角形外接圆半径为R，则atan B＝btan A a2sin Bb2sin A?＝ cos Bcos A2222 4Rsin Asin B4Rsin Bsin A?＝ cos Bcos A?sin Acos A＝sin Bcos B ?sin 2A＝sin 2B ?2A＝2B或2A＋2B＝π π ?A＝B或A＋B＝. 2 ∴△ABC为等腰三角形或直角三角形． 能力提升 13．在△ABC中，B＝60°，最大边与最小边之比为(3＋1)∶2，则最大角为( ) A．45° B．60° C．75° D．90° 答案 C 解析 设C为最大角，则A为最小角，则A＋C＝120°， abc 3