(本栏目内容,在学生用书中以独立形式分册装订!)
一、选择题(每小题5分,共20分)
1.cos 75°cos 30°+sin 75°sin 30°等于( ) A.
2
2
B.-
2 2
C.2
解析: 原式=cos(75°-30°) =cos 45°=答案: A
2. 2
D.-2
123
2.已知α为锐角,β为第三象限角,且cos α=,sin β=-,则cos(α-β)的值
135为( )
63
A.-
6563C. 65
33B.-
6533D. 65
5
1-cos2α=.∵β为第三象限角,且
13
12
解析: ∵α为锐角,且cos α=,∴sin α=
133
sin β=-,∴cos β=-
5
412
1-sin2β=-,∴cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=×
513
?-4?+5×?-3?=-63.故选A.
?5?13?5?65
答案: A
3.设向量a=(cos 23°,cos 67°),b=(cos 53°,cos 37°),则a·b等于( ) A.
3
23 2
1B. 21D.-
2
C.-
解析: a·b=(cos 23°,cos 67°)·(cos 53°,cos 37°) =cos 23°cos 53°+cos 67°cos 37° =cos 23°cos 53°+sin 23°sin 53°
1
=cos(23°-53°) =cos(-30°) =3. 2
故选A. 答案: A
4.已知△ABC的三个内角分别为A,B,C,若a=(cos A,sin A),b=(cos B,sin B)且a·b=1,则△ABC一定是( )
A.直角三角形 C.等边三角形
B.等腰三角形 D.等腰直角三角形
解析: 因为a·b=cos Acos B+sin Asin B=cos(A-B)=1,且A,B,C是三角形的内角,
所以A=B,即△ABC一定是等腰三角形. 答案: B
二、填空题(每小题5分,共15分)
5.cos 75°cos 15°-sin 255°sin 15°=________. 解析: cos 75°cos 15°-sin 255°sin 15° =cos 75°cos 15°-sin(180°+75°)sin 15° =cos 75°cos 15°+sin 75°sin 15° 1=cos(75°-15°)=cos 60°=.
21
答案:
2
6.化简cos(α-55°)·cos(α+5°)+sin(α-55°)·sin(α+5°)=________. 1
解析: 原式=cos[(α-55°)-(α+5°)]=cos(-60°)=.
21
答案:
2
ππ15
7.已知sin α=,α∈?,π?,则cos ?-α?的值为________.
17?2??4?15?π?
解析: ∵sin α=,α∈?,π?,
17?2?
2
15?8?2∴cos α=-1-sin2
α=-1-?17?=-17
, ∴cos??π?4-α???=cos π4cos α+sin π24sin α=2×??-817??+22×1517=72
34.
答案:
7234
三、解答题(每小题10分,共20分)
8.已知α,β为锐角,且cos α=416
5,cos(α+β)=-65,求cos β的值.解析: 因为0<α,β<π
2,所以0<α+β<π.
由cos(α+β)=-1665,得sin(α+β)=63
65.
又因为cos α=45,所以sin α=3
5.
所以cos β=cos[(α+β)-α] =cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α =??-1665??×45+6365×35=5
13
. 9.若x∈?π?2,π??,且sin x=4
2π5,求2cos??
x-3??+2cos x的值.
解析: ∵x∈??π?2,π???,sin x=43
5,∴cos x=-5.
∴2cos???
x-2π?
3??+2cos x
=2?
??cos xcos 2π23+sin xsin π?3??+2cos x
=2??-12cos x+3
2sin x??+2cos x
=3sin x+cos x =43343-3
5-5=5. 3