专题九 反比例函数与几何图形综合题
反比例函数与三角形
【例1】 (2016·重庆)如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第二、四象限内的A，B两点，与x轴交于点C，与y轴交于点D，点B的坐标是(m，
3
－4)，连接AO，AO＝5，sin∠AOC＝.
5
(1)求反比例函数的解析式； (2)连接OB，求△AOB的面积．
分析：(1)过点A作AE⊥x轴于点E，通过解直角三角形求出线段AE，OE的长度，得出点A的坐标，即可求出反比例函数解析式；(2)先求出点B的坐标，再求直线AB的解析式，从而可求出点C的坐标，再利用三角形的面积公式即可得出结论．
k
解：(1)过点A作AE⊥x轴于点E，设反比例函数解析式为y＝.∵AE⊥x轴，∴∠AEO
x
322
＝90°.在Rt△AEO中，AO＝5，sin∠AOC＝，∴AE＝AO·sin∠AOC＝3，OE＝AO－AE＝4，
5
12
∴点A的坐标为(－4，3)，可求反比例函数解析式为y＝－
x
(2)易求B(3，－4)，可求直线AB的解析式为y＝－x－1.令一次函数y＝－x－1中y＝
11
0，则0＝－x－1，解得x＝－1，∴C(－1，0)，∴S△AOB＝OC·(yA－yB)＝×1×[3－(－4)]
22
7＝ 2
反比例函数与四边形
【例2】 (2016·恩施)如图，直角三角板ABC放在平面直角坐标系中，直角边AB垂
43
直于x轴，垂足为点Q，已知∠ACB＝60°，点A，C，P均在反比例函数y＝的图象上，
x
分别作PF⊥x轴于点F，AD⊥y轴于点D，延长DA，FP交于点E，且点P为EF的中点．
(1)求点B的坐标；
(2)求四边形AOPE的面积．
b43
分析：(1)设点A(a，b)，则tan60°＝＝3，b＝，联立可求点A的坐标，从而
aa
得出点C，B的坐标；
(2)先求出AQ，PF的长，从而可求点P的坐标和S△OPF，再求出S矩形DEFO，根据S四边形AOPE
＝S矩形DEFO－S△AOD－S△OPF，代入计算即可．
1
解：(1)∵∠ACB＝60°，∴∠AOQ＝60°，∴tan60°＝
AQ
＝3，设点A(a，b)，则OQ
b??a＝3，?a＝2，?a＝－2，
或?(不合题意，舍去)，∴点A的坐标是(2，2?43解得?b＝23b＝－23??
b＝，??a
3)，∴
点C的坐标是(－2，－23)，∴点B的坐标是(2，－23)
(2)∵点A的坐标是(2，23)，∴AQ＝23，∴EF＝AQ＝23，∵点P为EF的中点，∴
43
PF＝3，设点P的坐标是(m，n)，则n＝3，∵点P在反比例函数y＝的图象上，∴3
x431＝，S△OPF＝|43|＝23，∴m＝4，∴OF＝4，∴S
m2
矩形DEFO
＝OF·OD＝4×23＝83，∵
四边形AOPE
431点A在反比例函数y＝的图象上，∴S△AOD＝|43|＝23，∴S
x2－S△OPF＝83－23－23＝43
＝S
矩形DEFO
－S△AOD
m
1．(2016·泸州)如图，一次函数y＝kx＋b(k＜0)与反比例函数y＝的图象相交于A，
x
B两点，一次函数的图象与y轴相交于点C，已知点A(4，1)．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)连接OB(O是坐标原点)，若△BOC的面积为3，求该一次函数的解析式．
4
解：(1)y＝ (2)∵一次函数y＝kx＋b(k＜0)经过点A(4，1)，∴4k＋b＝1，即b＝1
x4??y＝，112
－4k，联立?x得kx＋(1－4k)x－4＝0，解得x＝4或－，∴点B(－，－4k)，
kk
??y＝kx＋1－4k
111
又点C(0，1－4k)，而k＜0，∴－＞0，1－4k＞0，∴S△BOC＝×(－)×(1－4k)＝3，∴k
k2k
11
＝－，∴b＝1－4k＝3，∴该一次函数解析式为y＝－x＋3
22
2
2．(2016·宁夏)如图，Rt△ABO的顶点O在坐标原点，点B在x轴上，∠ABO＝90°，
k
∠AOB＝30°，OB＝23，反比例函数y＝(x＞0)的图象经过OA的中点C，交AB于点D.
x
(1)求反比例函数的关系式；
(2)连接CD，求四边形CDBO的面积．
3
OB＝2，作CE⊥OB于E，3
11
∵∠ABO＝90°，∴CE∥AB，∵OC＝AC，∴OE＝BE＝OB＝3，CE＝AB＝1，∴C(3，1)，
22
解：(1)∵∠ABO＝90°，∠AOB＝30°，OB＝23，∴AB＝可求反比例函数的关系式为y＝
坐标为23，代入y＝
ACD
3
(2)∵OB＝23，∴点D的横 x
31113
得y＝，∴D(23，)，∴BD＝，∵AB＝2，∴AD＝，∴S△x2222
四边形CDBO
11333
＝AD·BE＝××3＝，∴S22241331
＝S△AOB－S△ACD＝OB·AB－＝×23×2－
242
3353
＝ 44
1．(导学号 59042305)(2016·东营)如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴交于
m
点B，与y轴交于点A，与反比例函数y＝的图象在第二象限交于点C，CE⊥x轴，垂足为
x
1
点E，tan∠ABO＝，OB＝4，OE＝2.
2
(1)求反比例函数的解析式；
(2)若点D是反比例函数图象在第四象限上的点，过点D作DF⊥y轴，垂足为点F，连接OD，BF，如果S△BAF＝4S△DFO，求点D的坐标．
解：(1)∵OB＝4，OE＝2，∴BE＝OB＋OE＝6.∵CE⊥x轴，∴∠CEB＝90°.在Rt△BEC
11
中，BE＝6，tan∠ABO＝，∴CE＝BE·tan∠ABO＝6×＝3，∴C(－2，3)，可求反比例函数
226
的解析式为y＝－ x
66
(2)∵点D在反比例函数y＝－ 第四象限的图象上，∴设点D的坐标为(n，－)(n＞
xn
3