一、选择题
1．（2010 浙江省温州）用若干根相同的火柴棒首尾顺次相接围成一个梯形(提供的火柴棒全部用完)，下列根数的火柴棒不能围成梯形的是(▲) ． A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】B 二、填空题
1．（2010浙江绍兴）做如下操作：在等腰三角形ABC中,AB= AC,AD平分∠BAC, 交BC于点D.将△ABD作关于直线AD的轴对称变换,所得的 像与△ACD重合.
对于下列结论:①在同一个三角形中,等角对等边;②在同一个三角形中,等边对等角;③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线
第15题图
和高互相重合.
由上述操作可得出的是 (将正确结论的序号都填上).
【答案】②③
2．（2010 福建晋江）将一块正五边形纸片（图①）做成一个底面仍为正五边形且高相等
的无盖纸盒（侧面均垂直于底面，见图②），需在每一个顶点处剪去一个四边形，例如图①中的四边形ABCD，则?BAD的大小是_______度.
B C DCA
①
第16题图
②
【答案】72
三、解答题
1．（2010江苏南通）（本小题满分10分）
小沈准备给小陈打电话，由于保管不善，电话本上的小陈手机号码中，有两个数字已模糊不清．如果用x、y表示这两个看不清的数字，那么小陈的手机号码为139x370y580（手机号码由11个数字组成），小沈记得这11个数字之和是20的整数倍．
（1）求x+y的值；
（2）求小沈一次拨对小陈手机号码的概率．
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【答案】（1）因为1?3?9?x?3?7?0?y?5?8?0?x?y?36?20n（n为正整数）
9≤0y≤双因为0≤x≤，9以0≤x?y≤18,所以3≤6x?y?所3≤654即
36≤20n≤54,所以，n?2，所以x?y?4
（
2
）
因
为
x?y?4，且
0≤x≤，≤9y≤0所以有
①x?0,y?4;②x?1,y?3;③x?2,y?2;④x?3,y?1;⑤x?4,y?0，这5种情况，
因此，一次拨对小陈手机号的概率为0.2
2．（2010山东青岛）问题再现
现实生活中，镶嵌图案在地面、墙面乃至于服装面料设计中随处可见．在八年级课题学习“平面图形的镶嵌”中，对于单种多边形的镶嵌，主要研究了三角形、四边形、正六边形的镶嵌问题．今天我们把正多边形的镶嵌作为研究问题的切入点，提出其中几个问．．．．题，共同来探究.
我们知道，可以单独用正三角形、正方形或正六边形镶嵌平面．如右图中，用正方形镶嵌平面，可以发现在一个顶点O周围围绕着4个正方形的内角.
O 试想：如果用正六边形来镶嵌平面，在一个顶点周围应该围绕着 个 正六边形的内角．
问题提出
如果我们要同时用两种不同的正多边形镶嵌平面，可能设计出几种不同的组合方案？ 问题解决
猜想1：是否可以同时用正方形、正八边形两种正多边形组合进行平面镶嵌？
分析：我们可以将此问题转化为数学问题来解决．从平面图形的镶嵌中可以发现，解决问题的关键在于分析能同时用于完整镶嵌平面的两种正多边形的内角特点．具体地说，就是在镶嵌平面时，一个顶点周围围绕的各个正多边形的内角恰好拼成一个周角．
验证1：在镶嵌平面时，设围绕某一点有x个正方形和y个正八边形的内角可以拼成一个周角．根据题意，可得方程：
?8?2??18090x?????y?360，整理得：2x?3y?8，
8?x?1我们可以找到惟一一组适合方程的正整数解为? ．
y?2?结论1：镶嵌平面时，在一个顶点周围围绕着1个正方形和2个正八边形的内角可以
拼成一个周角，所以同时用正方形和正八边形两种正多边形组合可以进行平面镶嵌．
猜想2：是否可以同时用正三角形和正六边形两种正多边形组合进行平面镶嵌？若能，请按照上述方法进行验证，并写出所有可能的方案；若不能，请说明理由．
验证2：
结论2： ．
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上面，我们探究了同时用两种不同的正多边形组合镶嵌平面的部分情况，仅仅得到了一部分组合方案，相信同学们用同样的方法，一定会找到其它可能的组合方案．
问题拓广
请你仿照上面的研究方式，探索出一个同时用三种不同的正多边形组合进行平面镶嵌的方案，并写出验证过程．
猜想3： .
验证3：
结论3： .
【答案】
解：3个； ·································1分
验证2：在镶嵌平面时，设围绕某一点有a个正三角形和b个正六边形的内角可以
拼成一个周角．根据题意，可得方程：
60a?120b?360． 整理得：a?2b?6，
?a?2?a?4可以找到两组适合方程的正整数解为?和?． ···························3分
?b?2?b?1结论2：镶嵌平面时，在一个顶点周围围绕着2个正三角形和2个正六边形的内角
或者围绕着4个正三角形和1个正六边形的内角可以拼成一个周角，所以同时
用正三角形和正六边形两种正多边形组合可以进行平面镶嵌． ·················5分
猜想3：是否可以同时用正三角形、正方形和正六边形三种正多边形组合进行平面
镶嵌？ ·································6分
验证3：在镶嵌平面时，设围绕某一点有m个正三角形、n个正方形和c个正六边
形的内角可以拼成一个周角. 根据题意，可得方程：
60m?90n?120c?360， 整理得：2m?3n?4c?12，
?m?1?可以找到惟一一组适合方程的正整数解为?n?2. ·································8分
?c?1?结论3：镶嵌平面时，在一个顶点周围围绕着1个正三角形、2个正方形和1个正
六边形的内角可以拼成一个周角，所以同时用正三角形、正方形和正六边 形三种正多边形组合可以进行平面镶嵌. （说明：本题答案不惟一，符合要求即可.） ······························· 10分
3．（2010山东威海）如图①，将一张矩形纸片对折，然后沿虚线剪切，得到两个（不等边）三角形纸片△ABC，△A1B1C1．
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B
（图①）
B1
A A1
C
C1
﹙1﹚将△ABC，△A1B1C1如图②摆放，使点A1与B重合，点B1在AC边的延长线上，连接CC1交BB1于点E．求证：∠B1C1C＝∠B1BC．
﹙2﹚若将△ABC，△A1B1C1如图③摆放，使点B1与B重合，点A1在AC边的延长线上，连接CC1交A1B于点F．试判断∠A1C1C与∠A1BC是否相等，并说明理由．
B(B1)
C1
F A
B1
图 ②
C
A
C1 E B(A1)
﹙3﹚写出问题﹙2﹚中与△A1FC相似的三角形 A 1 C ． 图 ③
【答案】
（1）证明：由题意，知△ABC≌△A1B1C1，
∴ AB= A1B1，BC1=AC，∠2=∠7，∠A=∠1．
∴ ∠3=∠A=∠1． ??????????????????????????1分 ∴ BC1∥AC．
∴ 四边形ABC1C是平行四边形． ??????2分
C1
5 2 3 B1
E 1 6
B(A1) 7 4 图 ②
C
A
∴ AB∥CC1．
∴ ∠4=∠7=∠2． ?????????????3分 ∵ ∠5=∠6，
∴ ∠B1C1C＝∠B1BC．???????????4分 ﹙2﹚∠A1C1C =∠A1BC． ??????????5分 理由如下：由题意，知△ABC≌△A1B1C1，
∴ AB= A1B1，BC1=BC，∠1=∠8，∠A=∠2．
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B(B1)
C1 2 3 A1
图 ③ 7 5 1 F 6 4 C
A 8 ∴ ∠3=∠A，∠4=∠7． ?????????6分
∵ ∠1＋∠FBC=∠8＋∠FBC，
∴ ∠C1BC＝∠A1BA． ??????????7分
11∵ ∠4=(180°－∠C1BC)，∠A=(180°－∠A1BA)． 22∴ ∠4=∠A． ?????????????8分 ∴ ∠4=∠2． ∵ ∠5=∠6，
∴ ∠A1C1C=∠A1BC．??????????????????????????9分 ﹙3﹚△C1FB，????10分； △A1C1B，△ACB．????11分﹙写对一个不得分﹚
4．（2010山东威海）（1）探究新知：
①如图，已知AD∥BC，AD＝BC，点M，N是直线CD上任意两点． 求证：△ABM与△ABN的面积相等．
②如图，已知AD∥BE，AD＝BE，AB∥CD∥EF，点M是直线CD上任一点，点G是直线EF上任一点．试判断△ABM与△ABG的面积是否相等，并说明理由．
（2）结论应用：
如图③，抛物线y?ax?bx?c的顶点为C（1，4），交x轴于点A（3，0），交y轴于点D．试探究在抛物线y?ax?bx?c上是否存在除点C以外的点E，使得△ADE与△ACD的面积相等？ 若存在，请求出此时点E的坐标，若不存在，请说明理由．
﹙友情提示：解答本问题过程中，可以直接使用“探究新知”中的结论．﹚
22M D N C
A
图 ①
B
M D C
A B F G
图 ②
E
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