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第六章 6.3实数
知识点1:无理数
1.定义:无限不循环小数叫做无理数. 2.表现形式:(1)开方开不尽得到的数如: (2)含有π的式子;
(3)有规律但不循环的无限小数,如:0.101 001 000 1…;
注意:对于实数的分类,不能只看形式,并非所有带根号的数都是无理数,应严格按照有理数和无理数的定义来判定,如知识点2:实数的概念
(1)定义:有理数和无理数统称实数.例如:-6,(2)实数的分类
总结：(1)实数的相反数的意义和有理数的相反数的意义一样,如果a表示任意一个实数,那么-a就是a的相反数,即a与-a互为相反数,例如:的相反数仍然是0;
(2)实数的绝对值的意义与有理数的绝对值的意义一样,一个正实数的绝对值是它本身;一个负
的相反数是 -,
的相反数是-.另外,规定0
,
,0.4,π等都是实数.
为有理数.
、
等;
实数的绝对值是它的相反数;0的绝对值是0,用字母表示为:对于任意实数a,有|a|=
知识点3:实数与数轴
1.对应关系:实数与数轴上的点一一对应.
2.与有理数相同,数轴上右边的点表示的数总比左边的点表示的数大.
总结：(1)利用数轴可以比较实数的大小,在数轴上,右边的点表示的实数总比左边的点表示的实数大;
(2)正实数大于0,负实数小于0,正实数大于一切负实数,两个负实数比较大小,绝对值大的反而小.
知识点4:实数的性质
在实数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义和在有理数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义完全一样. 知识点5:实数的运算
(1)实数有加、减、乘、除、乘方、开方运算,混合运算的顺序是先算乘方、开方,再算乘、除,最后算加、减,同级运算按照从左到右的顺序进行,有括号的要先算括号里的;(2)加法交换律:a+b=b+a;加法结合律:(a+b)+c=a+(b+c);乘法交换律:ab=ba;乘法结合律:(ab)c=a(bc);乘法分配律:a(b+c)=ab+ac.总之有理数的一切运算法则适用于实数的运算.
考点1：实数概念的应用
【例1】下列各数:-5,3.7,依次多一个1)
,,,-π,,0.3,-,0.212 112 111 2…(每两个2之间
哪些是有理数?哪些是无理数?哪些是正实数?哪些是负实数? 解:有理数有:-5,3.7,
,
,0.3,-;
无理数有:,-π,,0.212 112 111 2…(每两个2之间依次多一个1);
正实数有:3.7,,,0.3,,,0.212 112 111 2…(每两个2之间依次多一个1);
负实数有:-5,-,-π. 考点2:实数的大小比较
【例2】比较2, A.2<
<
,
的大小,正确的是( )
<
B.2<
C.<2< D.<<2
答案:C
点拨：∵2=4<5,∴2<
2
,∵2=8>7,∴2>
3
.故选C.
考点3：用数轴比较数的大小
【例3】 在数轴上表示下列各数,并把它们按从小到大的顺序排列起来,用“<”连接:-0.,-,.
,在数轴上表示,如图所示.
解:-0.,-
由图得到:-点拨：对于-<-0.<.
,可以通过画边长为1的正方形的对角线得到.
考点4：实数的运算
【例4】计算:(1)(
+
)×
;
(2)(4)
-+
-;(3) (
-(精确到0.01);
解:(1)原式=(0.1+0.1)×12=2.4;(2)原式=--=-; (3)原式=((4)由 -)-( + )= ---=-2 ≈(-2)×1.414=-2.828≈-2.83; ≈1.414, ≈1.732. 点拨：对于一些常用的无理数,应记住其近似值,如