第一章 推理与证明
§1 归纳与类比 1．1 归纳推理
一、基础过关
1． 数列5,9,17,33，x，…中的x等于
A．47
( ) D．128
B．65 C．63
2． 观察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cos x)′＝－sin x，由归纳推理可得：若定义在R上的函
数f(x)满足f(－x)＝f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(－x)等于 A．f(x) C．g(x)
B．－f(x) D．－g(x)
( )
111357
3． f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N*)，计算得f(2)＝，f(4)>2，f(8)>，f(16)>3，f(32)>，推测23n222
当n≥2时，有________．
33
4． 已知sin230°＋sin290°＋sin2150°＝，sin25°＋sin265°＋sin2125°＝. 通过观察上述两等式
22
的规律，请你写出一个一般性的命题：____________________. 5． 已知a1＝3，a2＝6且an＋2＝an＋1－an，则a33＝________. 二、能力提升
6． 设x∈R，且x≠0，若x＋x1＝3，猜想x2n＋x－2n(n∈N*)的个位数字是________．
－
7． 如图，观察图形规律，在其右下的的空格处画上合适的图形，应为________．
8． 如图所示四个图形中，着色三角形的个数依次构成一个数列的前4项，则这个数列的一
个通项公式为________．
9． 如图所示，图(a)是棱长为1的小正方体，图(b)、图(c)是由这样的小正方体摆放而成．按
照这样的方法继续摆放，自上而下分别叫第1层，第2层，…，第n层．第n层的小正方体的个数记为Sn.解答下列问题：
(1)按照要求填表：
n Sn 1 1 2 3 3 6 4 … … (2)S10＝________. (3)Sn＝________. 10．传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上面画点或用小石子表示数．他们研究
过如图所示的三角形数：
将三角形数1,3,6,10，…记为数列{an}，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列{bn}，可以推测： (1)b2 012是数列{an}中的第______项； (2)b2k－1＝________.(用k表示)
1
11．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1且Sn－1＋＋2＝0(n≥2)，计算S1，S2，S3，S4，
Sn
并猜想Sn的表达式．
12．一条直线将平面分成2个部分，两条直线最多将平面分成4个部分．
(1)3条直线最多将平面分成多少部分？
(2)设n条直线最多将平面分成f(n)部分，归纳出f(n＋1)与f(n)的关系； (3)求出f(n)． 三、探究与拓展
1
13．在一容器内装有浓度为r%的溶液a升，注入浓度为p%的溶液a升，搅匀后再倒出溶
4
1
液a升，这叫一次操作，设第n次操作后容器内溶液的浓度为bn，计算b1、b2、b3，4并归纳出计算公式．
答案
n＋23
1．B 2.D 3．f(2n)> 4．sin2(α－60°)＋sin2α＋sin2(α＋60°)＝ 5．3 6．7
22n?n＋1?5k?5k－1?－
7．① 8．an＝3n1(n∈N*) 9．(1)10 (2)55 (3) 10．(1)5 030 (2)
2211．解 当n＝1时，S1＝a1＝1；
1
当n＝2时，＝－2－S1＝－3，
S21
∴S2＝－；
3
15
当n＝3时，＝－2－S2＝－，
S333
∴S3＝－；
5
17
当n＝4时，＝－2－S3＝－，
S455
∴S4＝－. 7
2n－3
猜想：Sn＝－(n∈N*)．
2n－1
12．解 (1)3条直线最多将平面分成7个部分．
(2)f(n＋1)＝f(n)＋n＋1.
(3)f(n)＝[f(n)－f(n－1)]＋[f(n－1)－f(n－2)]＋…＋[f(2)－f(1)]＋f(1)＝n＋(n－1)＋(n－2)n2＋n＋2
＋…＋2＋2＝.
2
rapa·＋·1004100141
13．解 b1＝＝(r＋p)；
a10055a＋4
apab1＋·410014214
b2＝＝[()r＋p＋2p]；
a100555a＋4apab2＋·4100143144
b3＝＝[()r＋p＋2p＋3p]．
a1005555a＋44n114n14
归纳得bn＝[()r＋p＋2p＋…＋np] 1005555
－