实验七 matlab求解级数有关计算
1.级数的基本概念
常数项级数：称用加号将数列
an的项连成的式子
a1?a2?a3???an??为（常数项）无穷级数，简记为
?an?1?n。称级数
?an?1?n前n项构成的和
nSn?a1?a2?a3???an??akk?1
为级数的部分和。若n??limSn?S，则称级数
?an?1?n收敛，其和为S。
Taylor级数：设函数f(x)在包含x?a的区域内具有各阶导数，则称幂级数
?n?0?f(n)(a)f(2)(a)f(n)(a)n2(x?a)?f(a)?f'(a)(x?a)?(x?a)???(x?a)n??n!2!n!
为函数f(x)在x?a的Taylor级数，当a?0时称为Maclaurin(麦克劳林)级数。 2．级数的MATLAB命令
MATLAB中主要用symsum,taylor求级数的和及进行Taylor展开。 symsum(s,v,a,b) 表达式s关于变量v从a到b求和 taylor(f,a,n) 将函数f在a点展为n-1阶Taylor多项式 可以用help symsum, help taylor查阅有关这些命令的详细信息
例1 先用taylor命令观测函数y?sinx的Maclaurin展开式的前几项,例如观测前6项, 相应的MATLAB代码为：
>>clear; syms x;
>>taylor(sin(x),0,1) >>taylor(sin(x),0,2) >>taylor(sin(x),0,3) >>taylor(sin(x),0,4) >>taylor(sin(x),0,5) >>taylor(sin(x),0,6) 结果为:
ans =0 ans =x ans =x
ans =x-1/6*x^3
ans =x-1/6*x^3
ans =x-1/6*x^3+1/120*x^5
然后在同一坐标系里作出函数y?sinx和它的Taylor展开式的前几项构成的多项式函
x3x3x5y?x,y?x?,y?x??,?,3!3!5!数的图形，观测这些多项式函数的图形向y?sinx的图形的逼近的情况。例如，在区间[0,?]上作函数y?sinx与多项式函数
x3x3x5y?x,y?x?,y?x??3!3!5!图形的MATLAB代码为：
>>x=0:0.01:pi; y1=sin(x); y2=x; y3=x-x.^3/6; y4=x-x.^3/6+ x.^5/120; >>plot(x,y1,x,y2,’:’,x,y3, ’:’,x,y4,’:’)
结果如图3.1，其中实线表示函数y?sinx的图形。
1.510.5001234 图3.1 y?sinx的泰勒级数
类似地，根据函数的Taylor级数
x2x4x6cosx?1?????,x?(??,??),2!4!6!x2x3xe?1?x????,x?(??,??),2!3!x2x3x4ln(1?x)?x?????,x?(?1,1],234?(??1)2(1?x)??1??x?x??,x?(?1,1).2!
作图观测其展开式的前几项多项式逼近原函数的情况。
例2 利用幂级数计算指数函数。指数函数可展开为幂级数
x2x3xne?1?x???????,x?(??,??),2!3!n!
x其通项为x^n/prod(1:n),因此用下列循环相加就可计算出这个级数
>>x=input('x='); n=input('n='); y=1; %输入原始数据，初始化y
>>for i=1:n y=y+x^i/prod(1:i); end, vpa(y,10), %将通项循环相加，得y
执行此程序，分别带入x=1,2,4,-4这四个数，取n=10,y的结果如下
2.718281801， 7.388994709， 54.44310406， .9671957672e-1
24?4而用vpa(exp(1),10), vpa(exp(2),10), vpa(exp(4),10), vpa(exp(-4),10)命令可得e,e,e,e的10
位精确有效数字为
2.718281828, 7.389056099, 54.59815003, .1831563889e-1
对照可知，用级数法计算的有效数字分别为8，4，2，0位。
由此可以看出，这个程序虽然原理上正确，但不好用。对不同的x,精度差别很大。其他存在的问题有：
这个程序不能用于x的元素群运算；当x为负数时，它成为交错级数，收敛很慢；此
n2程序要做2次乘法，n很大时，乘法次数太多，计算速度很低；对不同的x,要取不同的n
才能达到精度要求，因此n不应由用户输入，应该由软件按精度要求来选。
正对上面的四个问题，可以采用下面四种方法改进： （1）允许数组输入，改进输出显示
x=input('x='); n=input('n='); y=ones(size(x)); %输入原始数据，初始化y
for i=1:n
y=y+x.^i/prod(1:i); %循环相加
s1=sprintf('.0f',i); s2=sprintf('.8f',y); %将结果变为字符串 disp([s1,s2]) %显示 end,
执行此程序，输入x=[1 2 4 -4]，n=10，结果为
1 2.00000000 3.00000000 5.00000000 -3.00000000
2 2.50000000 5.00000000 13.00000000 5.00000000
3 2.66666667 6.33333333 23.66666667 -5.66666667
4 2.70833333 7.00000000 34.33333333 5.00000000
5 2.71666667 7.26666667 42.86666667 -3.53333333
6 2.71805556 7.35555556 48.55555556 2.15555556
7 2.71825397 7.38095238 51.80634921 -1.09523810
8 2.71827877 7.38730159 53.43174603 0.53015873
9 2.71828153 7.38871252 54.15414462 -0.19223