第三章 样条插值和曲线拟合
1．y?x有如下的函数表
x 0 1 4 9 16 y 0 1 2 3 4 试用一次、二次、三次、四次多项式插值函数求8，看哪一个最接近8。 解 先作差商表
010111342159317???161601210
160?1420?31100811p3(8)?1?(8?1)?(8?1)(8?4)3601?(8?1)(8?4)(8?9)?2.844444?420?3
164故：p1(8)?2?
1(8?4)?2.8 51p4(8)?0?1?(8?0)?8(8?1)611?8?7?4?8?7?4?(?1)?2.622?2601008 已知
利用Neville方法得:
11p2(8)?2?(8?4)?(8?4)(8?9) 5210?2.819047?619xi
0
1
4
9
16 xi
0
1
4
9
-1
4
3
7
2
8-xi
8
1
-8
f(xi)
0
-1
4
4
3
7
2
8-xi
8
1
f(xi)
0
8?2.8284?2，7因此选定
x1?4,x2?9,x3?16,p2(8)最接近8。
16 -8 4 已知8?2.828427?，故选定x1 2.8284271
8
-1.33333333 3.3333333 2.4 2.866666667 2.6222222
2.8 2.8444444 2.819047619 2.8571429 f(8)= 2.828427125
8
-1 1/3 3 1/3 2 2/5 2 13/15 2 28/45 2 4/5 2 38/45 2 86/105 2 6/7
?4,x2?9,x3?16,p2(8)=2.819047619最接近8.
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2．f(x)?x,在[?1,1]上取h?0.5，作4次多项式的等距插值，求P4?1，并比较与f?12?2?的差别，如果用分段插值，那么结果将如何？ 解：（1）先作差商表 ?11?1?12012120?14301122?4301 ?43114111所以：p4(x)?1?(x?1)?4，故：p4(1。 )(x?13(x?12)x?3(x?1)(x?2)x(x?2)2)?2x?1211x?0（2）若采用分段插值，则在[0,2]上，L(x)?f(0)?f(?x，所以： 2)110?22?0111，结果一样。 L(12)?2?f(2)?p4(2)?3．解 （1）若记L(x)为tgx在????上的分段线性插值函数，则 4,4M22h,x?[xi,xi?1] 8M2212?4??R(x)?tgx?L(x)?h?h?10tgx?4其中M2?max，欲使，故 ??x????,8244R(x)?tgx?L(x)?h?2?10?2?0.014142?
?（2）如果采用分段二次插值，若L2(x)为tgx在????上的