第2讲 数列的求解与综合创新
1．已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn＋Sm＝Sn＋m(n，m∈N)且a1＝5，则a8＝________． [解析] 数列{an}的前n项和Sn满足Sn＋Sm＝Sn＋m(n，m∈N)且a1＝5，令m＝1，则Sn＋1＝
**
Sn＋S1＝Sn＋5，即Sn＋1－Sn＝5，所以an＋1＝5，所以a8＝5．
[答案] 5
2．(2019·江苏省名校高三入学摸底卷)已知公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1，a3，a4成等比数列，则
S3
S7－S4
的值为________．
[解析] 法一：设等差数列{an}的公差为d，因为a1，a3，a4成等比数列， 所以a3＝a1a4，所以(a1＋2d)＝a1(a1＋3d)，
3×2
3a1＋d2S33a1＋3d－9d因为d≠0，所以a1＝－4d，所以＝＝＝＝－
S7－S44×3?3a1＋15d3d7×6?
d7a1＋d－?4a1＋
2?2??3．
法二：设等差数列{an}的公差为d，因为a1，a3，a4成等比数列， 所以a3＝a1a4，所以(a1＋2d)＝a1(a1＋3d)，因为d≠0，所以a1＝－4d， 所以
3a2a1＋d－3d＝＝＝＝－3． S7－S43a6a1＋5dd2
2
2
2
S3
[答案] －3
3．(2019·泰州市高三模拟)设f(x)是R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝2＋ln，记an4＝f(n－5)，则数列{an}的前8项和为________．
[解析] 数列{an}的前8项和为a1＋a2＋…＋a8＝f(－4)＋f(－3)＋…＋f(3)＝f(－4)＋[f(－3)＋f(3)]＋[f(－2)＋f(2)]＋[f(－1)＋f(1)]＋f(0)＝f(－4)＝－f(4)＝－(2＋ln 1)＝－16．
[答案] －16
4．(2019·日照模拟改编)已知数列{an}的前n项和Sn＝n－6n，则{|an|}的前n项和Tn＝________．
[解析] 由Sn＝n－6n可得，当n≥2时，
2
2
4
xxan＝Sn－Sn－1＝n2－6n－(n－1)2＋6(n－1)＝2n－7．
- 1 -
当n＝1时，S1＝－5＝a1，也满足上式， 所以an＝2n－7，n∈N．
所以n≤3时，an＜0；n≥4时，an＞0，
??6n－n，1≤n≤3，
所以Tn＝?2
?n－6n＋18，n≥4．???6n－n，1≤n≤3，
[答案] ?2
?n－6n＋18，n≥4?
22
*
5．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，并且S10>0，S11<0，若Sn≤Sk对n∈N恒成立，则正整数k的值为________．
[解析] 由S10>0，S11<0知a1>0，d<0，并且a1＋a11<0，即a6<0，又a5＋a6>0，所以a5>0，即数列的前5项都为正数，第5项之后的都为负数，所以S5最大，则k＝5．
[答案] 5
6．(2019·南京高三模拟)若等比数列{an}的各项均为正数，且a3－a1＝2，则a5的最小值为________．
[解析] 设等比数列{an}的公比为q(q＞0且q≠1)，则由a3－a1＝2，得a1＝
4
*
2
．因为q－1
242q?1?a3－a1＝2＞0，所以q＞1，所以a5＝a1q＝2．令q2－1＝t＞0，所以a5＝2?t＋＋2?≥8，q－1?t?
当且仅当t＝1，即q＝2时，等号成立，故a5的最小值为8．
[答案] 8
??a（a≥b）
7．(2019·江苏名校高三入学摸底)定义实数a，b之间的运算⊕如下：a⊕b＝?，
?b（a 2（an＋1⊕2）* 已知数列{an}满足：a1＝a2＝1，an＋2＝(n∈N)，若a2 017＝1，记数列{an}的前n项 an和为Sn，则S2 017的值为________． [解析] 因为a1＝1，a2＝1，所以a3＝4，a4＝8，a5＝4， a6＝1，a7＝1，a8＝4，… 即此时{an}是周期数列，且周期为5， 所以a2 017＝a2＝1，a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝18， 故S2 017＝403×18＋a1＋a2＝7 256． [答案] 7 256 8．对于数列{an}，定义数列{an＋1－an}为数列{an}的“差数列”，若a1＝2，{an}的“差数 - 2 - 列”的通项公式为an＋1－an＝2，则数列{an}的前n项和Sn＝________． [解析] 因为an＋1－an＝2， 所以an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1 ＝2 n－1 nn＋2 n－2 2－2nn＋…＋2＋2＋2＝＋2＝2－2＋2＝2． 1－2 2 n2－2n＋1 所以Sn＝＝2－2． 1－2[答案] 2 n＋1 n＋1 －2 9．(2019·徐州调研)设等差数列{an}满足a3＋a7＝36，a4a6＝275，且anan＋1有最小值，则这个最小值为________． [解析] 设等差数列{an}的公差为d，因为a3＋a7＝36， 所以a4＋a6＝36， ??a4＝11，??a4＝25，?与a4a6＝275，联立，解得或? ?a6＝25?a6＝11，?? ???a4＝11，?a1＝－10， 当?时，可得?此时an＝7n－17，a2＝－3，a3＝4，易知当n≤2时，an<0，?a6＝25?d＝7，?? 当n≥3时，an>0， 所以a2a3＝－12为anan＋1的最小值； ???a4＝25，?a1＝46，当?时，可得?此时an＝－7n＋53，a7＝4，a8＝－3，易知当n≤7时，an>0，??a＝11d＝－7，6?? 当n≥8时，an<0， 所以a7a8＝－12为anan＋1的最小值． 综上，anan＋1的最小值为－12． [答案] －12 10．(2019·昆明调研)将数列{an}中的所有项按每一行比上一行多1项的规则排成如下数阵： a1a2，a3a4，a5，a6a7，a8，a9，a10 …… 记数阵中的第1列数a1，a2，a4，…构成的数列为{bn}，Sn为数列{bn}的前n项和．若Sn - 3 -