小学四年级奥数 容斥问题

容斥问题(一)

容斥问题涉及到一个重要的原理——包含与排除原理,也称为容斥原理,即当两个计数部分有重复包含时,为了不重复地计数,应从它们的和中排除重复部分。

这一讲我们先介绍容斥原理1对n个事物,如果采用两种不同的分类标准:按性质a分类与性质b分类(如图1),那么,具有性质a或性质b的事物的个数=Na+Nb-Nab。

例1.一个班有55名学生,订阅《小学生数学报》的有12人,订阅《今日少年报》的有9人,两种报纸都订阅的有5人。(1)订阅报纸的总人数有多少?(2)两种报纸都没订阅的有多少人?

例2.一个旅行社有36人,其中会英语的有24人,会俄语的有18人,两样都不会的有4人,两样都会的有多少人?

例3.在1到100的全部自然数中,既不是6的倍数也不是5的倍数的数有多少个?

例4.艺术节那天,学校的画廊里展了了每个年级学生的图画作品,其中有23幅画不是五年级的,有21幅画不是六年级的,五、六年级参展的画共有8幅。其他年级参展的画共有多少幅?

练习与思考

1.将边长分别为4厘米和5厘米的正方形纸片部分重叠,盖在桌面上(如图6),已知重叠的部分为9平方厘米,两块正方形纸片盖住桌面的总面积是多少平方厘米?

2.二(2)班有50名学生,下课后每人都至少做完了一门作业,其中做完语文作业的有35人,做完数学作业的有40人,两种作业都做完的有多少人?

3.有62名学生,其中会弹钢琴的有11名,会吹竖笛的有56名,两样都不会的有4名,两样都会的有多少名?

4.某校选出50名学生参加区作文比赛和数学比赛,作文比赛获奖的有14人,数学比赛获奖的有12人,有3人两项比赛都获奖的,两项比赛都没获奖的有多少人?

5.四(1)班有40个学生,其中有25人参加数学小组,23人参加航模水组,有19人两个小组都参加了,那么,有多少人两个小组都没有参加?

6.在一次数学测验中,所有同学都答了第1、2两题,其中答对第1题的有35人,答对第2题的有28人,这两题都答对的有20人,没有人两题都答错。一共有多少人参加了这次数学测验?

7.一个俱乐部里,会下中国象棋的有69人,会下国际象棋的有52人,这两种棋都不会下的有12人,都会下的有30人。这个俱乐部里有多少人?

8.某班上体育课,全班排成4行(每行的人数相等),小芳排的位置是:从前面数第6个,从后面数第7个。这

个班共有多少名学生?

9.在1到200的全部自然数中,既不是8的倍数也不是5的倍数的数有多少个?

10.科技节那天,学校的科技室里展出了每个年级学生的科技作品,其中有114件不是一年级的,有96件不是二年级的,一、二年级参展的作品共32件。其他年级参展的作品共有多少件?

容斥问题(二)

这一讲介绍容斥原理2 n个事物,如何采用三种不同的分类标准:按性质a 分类、性质b分类与性质c分类(如图1),那么,具有性质a或b或c的事物的个数=(Na+Nb=Nc)-(Nab=Nbc=Nca)+Nabc。

例1.五(1)班的全体学生进行了短跑、游泳、篮球三个项目的测试,有4名学生在这三个项目上都没有达到优秀,其余每人至少有一个项目达到优秀,这部分学生达到优秀的项目和人数如下表: 短跑 17人 游泳 18人 篮球 15人 短跑、游泳 6人 游泳、篮球 6人 篮球、短跑 6人 短跑、游泳、篮球 2人 求全班人数。

例2.某班有学生50人,参加无线电小组,航模小组和生物小组的人数分别是20人、20人和12人,其中既参加无线电小组又参加航模小组的有4人,既参加航模小组又参加生物小组的有5人,既参加生物小组又参加无线电小组的有3人。已知全班每人都至少参加了以上三个小组中的某一个,那么,三个小组参加的学生有多少人?

例3.一个体育锻炼小组有35名男生,规定他们至少参加篮球、排球、足球三个球队中的一个。结果参加篮球队的有16人,参加排球队的有11人,参加足球队的有20人,其中有4人既参加了排球队又参加了篮球队,有3人既参加了排球队又参加了足球队,没有人三个球队都参加。既参加篮球队又参加足球队的有多少人?

例4.松山小学45名学生参加数学、作文、美术竞赛。有21人参加数学竞赛,15人参加作文竞赛,其中7人既

参加作文竞赛又参加数学竞赛,3人既参加作文竞赛又参加美术竞赛,但没有一人既参加数学竞赛又参加美术竞赛。

(1)只参加数学竞赛的有多少人? (2)只参加作文竞赛的有多少人? (3)只参加美术竞赛的有多少人?

练习与思考

1.有30名运动员、其中18人会三级跳远,16人会撑杆跳高,10人三级跳远、撑杆跳高都不会。既会三级跳远又会撑杆跳高的运动员有多少名?

2.操场上的学生排成10路纵队做操,每路纵队的人数同样多,小明站在第4路纵队,从排头数他是第13人,从后往前数他是第8人。操场上有多少人在做操?

3.一个年级有120人爱好数学,100人爱好语文,85人爱好美术,30人既爱好数学又爱好语文,20人既爱好语文又爱好美术,35人既爱好美术又爱好数学,有18人三个学科都爱好。请问:这个年级中数学、语文、美术三个学科至少爱好一个学科的学生有多少人?

4.某班全体学生进行了数学、语文、英语三个科目的测试,有8名学生在这三个科目上都没有达到优秀,其余每人至少有一个科目达到优秀,这部分学生达到优秀的科目和人数如下表: 数学 20 语文 英语 数学、语文 16 16 4 语文、英语 4 英语、数学 5 数学、语文、英语 3 全班一共有多少名学生?

5.第三小队的学生有20人,手中分别拿有红、黄蓝三种颜色的球,已知手中有红球、黄球、蓝球折学生人数分别为10人、10人、6人,其中手中既有红球又有黄球的有3人,既有黄球又有蓝球的有2人,既有蓝球又有红球的有4人。已知全队每人手里都至少有一种颜色的球,那么,手中三种颜色的球都有多少人?

6.某班50名同学全部参加数学、语文、美术三个课外兴趣小组,参加数学小组的有29人,参加语文小组的有21人,参加美术小组的有25人,有17人既参加数学小组又参加美术小组,有15人既参加数学小组又参加语文小组,有10人既参加语文小组又参加美术小组。三个小组都参加的有多少人?

7.有学生30名,他们中有部分学生参加了乒乓球,羽毛球、排球三个训练小组,各组人数分别为14人、12人、

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