19. 方程
dx1?x2?dy1?y2?0的通解为arcsinx?arcsiny?c;
5x220.微分方程4y???20y??25?0的通解为y??c1?c2x?e.
21.当n=_________时,方程y'?p(x)y?q(x)yn 为一阶线性微分方程。
解 n?0或1.
22. 若4?4阶矩阵A的行列式为|A|?3,A*是A的伴随矩阵,则|A*|?__________. 答案: 27
23.设An?n与Bm?m均可逆,则C =??A0??1?也可逆,且C= .
?0B??A?1 答案: ??0?23???0?; ?1?B?24.设A??31?,且AX?E?3X,则X = .
?1?0答案:?2? ?10????2?12???25.矩阵402的秩为 ????0?33?? .
解答:将矩阵化成阶梯形,可知填写:2。
26. 向量??(?1,0,3,?5),??(4,?2,0,1),其内积为____________.
答案: ?9
27. n阶方阵A的列向量组线性无关的充要条件是 .
答案:r=n,或|A|≠0;
28. 给定向量组?1??111?,?2??a0b?,?3??132?,,若?1,?2,?3线性相关,
则a,b满足关系式 . 答案:a-2b=0
29. 已知向量组(I)与由向量组(II)可相互线性表示,则r(I)与r(II)之间向量个数的大小关系是 .
答案:相等;
30 向量?=(2,1) 可以用?=(0,1)与 ?=(1,3)线性表示为 .
T
T
T
答案:???5??2?;
31. 方程组Ax=0有非零解是非齐次方程组AB=b有无穷组解的 条件.
答案:必要不充分;
32. 设A为m×n矩阵,非齐次线性方程组Ax?b有唯一解的充要条件是r(A) r(A|b )= .
答案: r(A)?r(A?b)?n;
有解,且r(A)?n,则该方程组的一般解中自由未知量的
33.已知
元线性方程组
个数为 . 解答:n?r(A)
34.设?0是方阵A的一个特征值,则齐次线性方程组??0E?A?x?0的 都是A的属于?0的特征向量.
答案:非零解;
35.若3阶矩阵A的特征值为1,2,-3,则A?1的特征值为 . 答案:1,1,?1 ;
2336.设A是n阶方阵,|A|≠0,A为A的伴随矩阵,E为n阶单位矩阵,若A有特征值?0,则
*?A?*3?2E必有特征值??. 答案:(A?0)3?2.
37.?,?分别为实对称矩阵A的两个不同特征值?1,?2所对应的特征向量,则?与? 的内积(?,?)= . 答案: 0
38.二次型f(x1,x2,x3,x4)?x1x4?x2x3的秩为 . 答案:4.
?420???39. 矩阵A??24??为正定矩阵,则?的取值范围是_________.
?0?1???答案:?3???3 22240. 二次型f(x1,x2,x3)?2x1?3x2?tx3?2x1x2?2x1x3是正定的,则t的取值范围是
_____. 答案: t?3 541. A、B、C代表三事件,事件“A、B、C至少有二个发生”可表示为 AB+BC+AC .
42. 事件A、B相互独立,且知P?A??0.2,P?B??0.5则P?A?B?? . 解:∵A、B相互独立, ∴P(AB)=P(A)P(B)
∴P(A∪B)=P(A)+P(B)–P(AB)=0.2+0.5–0.1=0.6
43. 若随机事件A和B都不发生的概率为p,则A和B至少有一个发生的概率为 .
解:P(A+B)=1–P(A?B)?1?P(AB)?1?p
44. 在相同条件下,对目标独立地进行5次射击,如果每次射击命中率为0.6, 那么击中目标k次的概率为 (0?k?5).
解:设X表示击中目标的次数,则X服从二项分布,其分布律为:
45. 设随机变量X服从泊松分布,且P?X=1??P?X=2?,则P?X=3?= .
e???k解:∵ X服从泊松分布,其分布律为P{X=k}=(k=0, 1, 2,?,?>0)
k!e???1e???2? 由已知得:,求得?=2 1!2!e?2234e?2? ∴ P{X=3}= 3!30?x?1?x?1?x?2,则a= . 46. 设随机变量X的分布密度为f(x)??a?x?0其它? 解:由性质 即
?????f(x)dx?1
12??012?0??0dx??xdx??(a?x)dx??0dx
x2?1????0 0??ax??2?1?2x2 ?0?2 ? 解得:a=2
11?2a?2?a??a?1?1 2247. 若二维随机变量(X,Y)的联合分布律为
Y X 1 2 1 1/16 2 3/16 b a 且X,Y相互独立,则常数a = ,b = .
解:∵ X,Y相互独立
∴ P(X=1,Y=1)=P(X=1) · P(Y=1) 即:
1?13??1???????a? 16?1616??16?3 16 又 ∵ ??pij?1
∴ a=
ij ∴
∴ b=
13??a?b?1 16169 16348. 设X的分布密度为f(x),则Y?X的分布密度为 . 解:∵ P{Y≤y}=P(X≤y)=P(X≤3y)=Fx(3y)
∴ Y=X的分布密度为
3
3
1??(3y)?y3f(y3) ,y≠0 ?(y)=FX349. 二维随机变量(X,Y)的联合分布律为
Y X 1 2 1 2 0.2 0.3 21? ?则?与?应满足的条件是 ,当X,Y相互独立时,?= . 解 ∵
??Pljij=1 ∴ ????0.2?0.3=1 即有???=0.5
当X,Y相互独立 ∴P(X=1, Y=1)= P(X=1)P(Y=1) ∴ a=(a+0.2)(a+?) ∴a=0.2
50. 设随机变量X与Y相互独立,且X~N(1,2),Y~N(0,1).令Z = -Y + 2X +3,则
D(Z)= .
解 ∵ X与Y相互独立,∴ D(Z)=D(–Y+2X+3)=D(–Y)+D(2X+3)
2
=(–1)D(Y)+4D(X)=1+4×2=9。
251. 已知随机变量X的数学期望E(X)?1,E(X?).令4Y=2X-3,则
D(Y)= .
解 D(Y)=D(2X–3)=4D(X)=4{E(X)–[E(X)]}=4(4–1)=12。 二、单项选择题
1.设f(x)?x?1 ,则f(f(x)?1)=( ).
A. x B.x + 1 C.x + 2 D.x + 3 解 由于f(x)?x?1,得 f(f(x)?1)?(f(x)?1)?1=f(x)?2 将f(x)?x?1代入,得f(f(x)?1)=(x?1)?2?x?3 正确答案:D
2. 下列函数中,( )不是基本初等函数.
A. y?() B. y?lnx2 C. y?22
2
2
1exsinx53 D. y?x cosx 解 因为y?lnx2是由y?lnu,u?x复合组成的,所以它不是基本初等函数. 正确答案:B
3. 下列各对函数中,( )中的两个函数相等. A. y?xln(1?x)ln(1?x)2g?与 B. 与g?2lnx y?lnx2xx2C. y?1?sinx与g?cosx D. y?x(x?1)与y?x(x?1)
解: A
4. 设f(x)在x?x0处间断,则有( ) (A) f(x)在x?x0处一定没有意义;
f(x)?limf(x)); (B) f(x0?0)?f(x?0); (即lim??x?x0x?x0(C) limf(x)不存在,或limf(x)??;
x?x0x?x0(D) 若f(x)在x?x0处有定义,则x?x0时,f(x)?f(x0)不是无穷小 答案:D
?1?1?2x,x?0?5.函数f(x)?? 在x = 0处连续,则k = ( x?k,x?0? A.-2
).
B.-1 C.1 D.2