(中南大学现代远程教育课程考试)高等数学复习题及答案

答案:(C)

32. 在随机事件A,B,C中,A和B两事件至少有一个发生而C事件不发生的随机事件可表示为( )

(A)AC?BC (B)ABC (C)ABC?ABC?ABC (D)A?B?C 解 由事件间的关系及运算知,可选(A)

33. 袋中有5个黑球,3个白球,大小相同,一次随机地摸出4个球,其中恰有3个白球的概率为( )

35?3?14?3?1(A) (B)?? (C)C8 (D) ??48C8?8?8?8?84解 基本事件总数为C8,设A表示“恰有3个白球”的事件,A所包含的基本事件数

531为C5=5,故P(A)=

5,故应选(D)。 C8434. 设A、B互为对立事件,且P?A??0,P?B??0,则下列各式中错误的是( ) (A)PB|A?0 (B)P?A|B??0 (C)P?AB??0 (D)P?A?B??1 解: 因为A、B互为对立事件,所以P(A+B)=1,P(AB)=0,又P(A)?0,P(B)>0,

所以B=A,因而P(B|A)=P(A|A)=1,故选(A)

35. 离散型随机变量X的分布列为P{ X = k } =ak, k = 1,2,3,4.则a?( ) (A)0.05 (B)0.1 (C)0.2 (D)0.25

解:由概率分布性质可知,常数a应满足

???P(X?k)?1,∴ a+2a+3a+4a=1,即有

k?14a=0.1,故应选(B)。

36. 设随机变量X的分布函数为F(x)?a?1?arctanx(???x??,a为常数)则

???3?P???X?3?=( ) ???3? (A)

1112 (B) (C) (D) 6323?3??3??? ?x?3??F(3)?F??解:∵ P????3??3? ????3??1??1????a? arctan3?a???arctan?3??????????? ?1???3?1???111。 ???????,故应选(C)

??6?36237. 设随机变量X服从N??,4?,则P?X?2???,的值( ) (A)随?增大而减小; (B)随?增大而增大; (C)随?增大而不变; (D)随?减少而增大.

解:∵ X~N(?, 4) ∴ P[X≤2+?]=P??X??2?????而?(1)??1???(1),

22??值不随?的变化而变化, ∴ P{X≤2+?}值随?增大而不变,故应选(C)。

38 .设随机变量X~N(?,?2),则Y?aX?b服从( ) (A)N(?,?) (B)N(0,1) (C)N?2???2?,()? (D)N(a??b,a2?2) ?ab?解 选(D),∵ E(Y)=E(aX+b)=aE(X)+b=a?+b D(Y)=D(aX+b)=aD(X)=a?

2

2

2 ∴ Y~N(a?+b,a?)。

2

239. 对目标进行3次独立射击,每次射击的命中率相同,如果击中次数的方差为0.72,则每次射击的命中率等于( )

(A)0.1 ( B ) 0.2 ( C ) 0.3 ( D ) 0.4

解 选(D);由题意知:X~B(3, p),而D(X)=3 · p · (1–p)=0.72 ∴ p=0.4。

1??40. 设随机变量X的概率密度为f(x)???a2?x2?0?|x|?a|x|?a,a?0,则E(X)=( ).

(A)-1 (B)0 (C)1 (D)以上结论均不正确

解 选(B);∵E(X)=函数,∴ E(X)=0。

三、解答题

?????xf(x)dx??ax?a?a?x22dx,而被积函数为对称区间上的奇

?a?x2x?0?1.设f(x)??1 x?0,已知f(x)在x?0处连续可导,

?ln(b?x2)x?0?试确立a,b并求f?(x)

f?x??limlnb?x解 lim??x?0x?0?2??lnb,limf?x??lim?a?x??a,?f?x?在x?02x?0?x?0?处连续,?lnb?a?1,即a?1,b?e。

2当x?0时,f??x??lne?x??????2x, 2e?x当x?0时,f??x??2x,

f?0?x??f?0?lne?x2?1?lim?0, 当x?0时,f???0??limx?0?x?0?xxf?0?x??f?0?1?x2?1f???0??lim?lim?0,故 ?x?0?x?0xx??2x,x?0??。 f??x???2x,x?0??e?x2?2z2.设z?f(2x?y,ysinx), 其中f(u,v)具有二阶连续偏导数, 求.

?x?y解:

?z?2f1?ycosxf2, ?x?2z?2(?f11?sinxf12)?cosxf2?ycosx(?f21?sinxf22) ?x?y??2f11?(2sinx?ycosx)f12?cosxf2?ysinxcosxf22.

xy?,x2?y2?0讨论f(x,y)在(0,0) ?23.设

f(x,y)??x?y2?22?0,x?y?0(1)偏导数是否存在。 (2).是否可微。 解:(1)fx(0,0)?lim?x?0f(?x,0)?f(0,0)0?0?lim?0 ?x?0?x?x同理可得fy(0,0)?0,偏导数存在。 (2)若函数f在原点可微,则

?z?dz?f(0??x,0??y)?f(0,0)?fx?(0,0)?x?fy?(0,0)?y??x?y?x??y22

应是较?高阶的无穷小量,为此,考察极限lim所知,此极限不存在,因而函数f在原点不可微。

?z?dz??0???x?y,由前面

(?x,?y)?(0,0)?x2??y2lim4.在过点P(1,3,6)的所有平面中, 求一平面, 使之与三个坐标平面所围四面体的

体积最小.

解: 设平面方程为Ax?By?Cz?1, 其中A,B,C均为正, 则它与三坐标平面围成四面体的体积为V?11, 且A?3B?6C?1, 令

6ABCF(A,B,C,?)?ABC??(A?3B?6C?1), 则由

??F1???A?BC???0A???3?F???AC?3??01??B?, 求得 . 由于问题存在最小值, 因此所求平面方程??A?9??F??AB?6??01??C??A??18???A?3B?6C?1为

xyz1???1, 且Vmin??3?9?18?81. 39186?5.

?20xcos2xdx

?211xcos2xdx=xsin2x??2sin2xdx

20202111?0?cos2x?(?1?1)??

4420??解:

?20?6.

2222D,其中为圆域x?y?9。 |x?y?4|d???2222解:将区域D分为D1,D2,其中D1?(x,y)|x?y?4,D2?(x,y)|4?x?y?9。

????于是

222222|x?y?4|d??(4?x?y)d??(x?y?4)d???????DD1D22?222?3??d??(4?r)rdr?002d?(r???4)rdr0232

112?2?(2r2?r4)0?2?(r4?2r2)4441??27.设f(x,y)在x2?y2?1上连续,求证:

limR?01R2x2?y2?R2??f(x,y)d???f(0,0)。

证明 D?{(x,y)|x2?y2?R2}

2??f(?,y?)??Rf(?,y,当)由重积分中值定理,?(?,y)?D,使得??f(x,y)dR?0时,

D(?,y)?(0,0)

由f的连续性,知limf(?,y)?f(0,0),从而有:

k?0limr?01R2x2?y2??f(x,y)d?

?limr?01?R2f(?,y)??limf(?,y)2r?0R1?R2f(?,y)??limf(?,y)2k?0RR?0

??f(0,0)?lim(?1)n?18.求幂级数?(x?4)n收敛区间及和函数S(x):

nn?1?解:R?limann?1?lim?1,所以,?1?x?4?1,3?x?5.

n??an??nn?1当x?3时,级数成为

?(?n),由调和级数知发散;

n?1?1(?1)n当x?5时,级数成为?,由交错级数的Leibniz判别法知此级数是收敛的. 所以

nn?1?收敛区间为(?3,5].

?11(?1)n?1n设S(x)??, ?(x?4),则S?(x)??(?1)n?1(x?4)n?1?1?(x?4)x?3nn?1n?1?

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