答案：(C)
32. 在随机事件A，B，C中，A和B两事件至少有一个发生而C事件不发生的随机事件可表示为（ ）
（A）AC?BC （B）ABC （C）ABC?ABC?ABC （D）A?B?C 解 由事件间的关系及运算知，可选（A）
33. 袋中有5个黑球，3个白球，大小相同，一次随机地摸出4个球，其中恰有3个白球的概率为（ ）
35?3?14?3?1（A） （B）?? （C）C8 （D） ??48C8?8?8?8?84解 基本事件总数为C8，设A表示“恰有3个白球”的事件，A所包含的基本事件数
531为C5=5，故P(A)=
5，故应选（D）。 C8434. 设A、B互为对立事件，且P?A??0,P?B??0,则下列各式中错误的是（ ） （A）PB|A?0 （B）P?A|B??0 （C）P?AB??0 （D）P?A?B??1 解： 因为A、B互为对立事件，所以P(A+B)=1，P(AB)=0，又P(A)?0，P(B)>0，
所以B=A，因而P(B|A)=P(A|A)=1，故选（A）
35. 离散型随机变量X的分布列为P{ X = k } =ak, k = 1,2,3,4.则a?( ) （A）0.05 （B）0.1 （C）0.2 （D）0.25
解：由概率分布性质可知，常数a应满足
???P(X?k)?1，∴ a+2a+3a+4a=1，即有
k?14a=0.1，故应选（B）。
36. 设随机变量X的分布函数为F(x)?a?1?arctanx(???x??,a为常数)则
???3?P???X?3?＝（ ） ???3? （A）
1112 （B） （C） （D） 6323?3??3??? ?x?3??F(3)?F??解：∵ P????3??3? ????3??1??1????a? arctan3?a???arctan?3??????????? ?1???3?1???111。 ???????，故应选（C）
??6?36237. 设随机变量X服从N??,4?,则P?X?2???，的值（ ） （A）随?增大而减小； （B）随?增大而增大； （C）随?增大而不变； （D）随?减少而增大.
解：∵ X～N(?, 4) ∴ P[X≤2+?]=P??X??2?????而?(1)??1???(1)，
22??值不随?的变化而变化， ∴ P{X≤2+?}值随?增大而不变，故应选（C）。
38 .设随机变量X~N(?,?2)，则Y?aX?b服从( ) （A）N(?,?) （B）N(0,1) （C）N?2???2?,()? （D）N(a??b,a2?2) ?ab?解 选（D），∵ E(Y)=E(aX+b)=aE(X)+b=a?+b D(Y)=D(aX+b)=aD(X)=a?
2
2
2 ∴ Y～N(a?+b，a?)。
2
239. 对目标进行3次独立射击，每次射击的命中率相同，如果击中次数的方差为0.72，则每次射击的命中率等于（ ）
（A）0.1 ( B ) 0.2 ( C ) 0.3 ( D ) 0.4
解 选（D）；由题意知：X～B(3, p)，而D(X)=3 · p · (1–p)=0.72 ∴ p=0.4。
1??40. 设随机变量X的概率密度为f(x)???a2?x2?0?|x|?a|x|?a,a?0，则E(X)=( ).
（A）-1 （B）0 （C）1 （D）以上结论均不正确
解 选（B）；∵E(X)=函数，∴ E(X)=0。
三、解答题
?????xf(x)dx??ax?a?a?x22dx，而被积函数为对称区间上的奇
?a?x2x?0?1.设f(x)??1 x?0，已知f(x)在x?0处连续可导，
?ln(b?x2)x?0?试确立a,b并求f?(x)
f?x??limlnb?x解 lim??x?0x?0?2??lnb，limf?x??lim?a?x??a，?f?x?在x?02x?0?x?0?处连续，?lnb?a?1，即a?1,b?e。
2当x?0时，f??x??lne?x??????2x， 2e?x当x?0时，f??x??2x，
f?0?x??f?0?lne?x2?1?lim?0， 当x?0时，f???0??limx?0?x?0?xxf?0?x??f?0?1?x2?1f???0??lim?lim?0，故 ?x?0?x?0xx??2x,x?0??。 f??x???2x,x?0??e?x2?2z2.设z?f(2x?y,ysinx), 其中f(u,v)具有二阶连续偏导数, 求.
?x?y解:
?z?2f1?ycosxf2, ?x?2z?2(?f11?sinxf12)?cosxf2?ycosx(?f21?sinxf22) ?x?y??2f11?(2sinx?ycosx)f12?cosxf2?ysinxcosxf22.
xy?,x2?y2?0讨论f(x,y)在（0，0） ?23．设
f(x,y)??x?y2?22?0,x?y?0（1）偏导数是否存在。 （2）.是否可微。 解：（1）fx(0,0)?lim?x?0f(?x,0)?f(0,0)0?0?lim?0 ?x?0?x?x同理可得fy(0,0)?0，偏导数存在。 （2）若函数f在原点可微，则
?z?dz?f(0??x,0??y)?f(0,0)?fx?(0,0)?x?fy?(0,0)?y??x?y?x??y22
应是较?高阶的无穷小量，为此，考察极限lim所知，此极限不存在，因而函数f在原点不可微。
?z?dz??0???x?y，由前面
(?x,?y)?(0,0)?x2??y2lim4.在过点P(1,3,6)的所有平面中, 求一平面, 使之与三个坐标平面所围四面体的
体积最小.
解: 设平面方程为Ax?By?Cz?1, 其中A,B,C均为正, 则它与三坐标平面围成四面体的体积为V?11, 且A?3B?6C?1, 令
6ABCF(A,B,C,?)?ABC??(A?3B?6C?1), 则由
??F1???A?BC???0A???3?F???AC?3??01??B?, 求得 . 由于问题存在最小值, 因此所求平面方程??A?9??F??AB?6??01??C??A??18???A?3B?6C?1为
xyz1???1, 且Vmin??3?9?18?81. 39186?5.
?20xcos2xdx
?211xcos2xdx=xsin2x??2sin2xdx
20202111?0?cos2x?(?1?1)??
4420??解：
?20?6．
2222D，其中为圆域x?y?9。 |x?y?4|d???2222解：将区域D分为D1,D2，其中D1?(x,y)|x?y?4,D2?(x,y)|4?x?y?9。
????于是
222222|x?y?4|d??(4?x?y)d??(x?y?4)d???????DD1D22?222?3??d??(4?r)rdr?002d?(r???4)rdr0232
112?2?(2r2?r4)0?2?(r4?2r2)4441??27．设f(x,y)在x2?y2?1上连续，求证：
limR?01R2x2?y2?R2??f(x,y)d???f(0,0)。
证明 D?{(x,y)|x2?y2?R2}
2??f(?,y?)??Rf(?,y，当)由重积分中值定理，?(?,y)?D，使得??f(x,y)dR?0时，
D(?,y)?(0,0)
由f的连续性，知limf(?,y)?f(0,0)，从而有：
k?0limr?01R2x2?y2??f(x,y)d?
?limr?01?R2f(?,y)??limf(?,y)2r?0R1?R2f(?,y)??limf(?,y)2k?0RR?0
??f(0,0)?lim(?1)n?18.求幂级数?(x?4)n收敛区间及和函数S(x)：
nn?1?解：R?limann?1?lim?1，所以，?1?x?4?1，3?x?5.
n??an??nn?1当x?3时，级数成为
?(?n)，由调和级数知发散；
n?1?1(?1)n当x?5时，级数成为?，由交错级数的Leibniz判别法知此级数是收敛的. 所以
nn?1?收敛区间为(?3,5].
?11(?1)n?1n设S(x)??， ?(x?4)，则S?(x)??(?1)n?1(x?4)n?1?1?(x?4)x?3nn?1n?1?