(中南大学现代远程教育课程考试)高等数学复习题及答案

fY(y)??????3?13dx?(1?y2),?1?y?1??y2 f(x,y)dy??44?其它?0,?3?32x,0?x?1??(1?y),?1?y?1∴ fX(x)??2 fY(y)??4

??其它其它?0,?0,又 ∵ fX(x)?fY(y)?f(x,y)

∴ X, Y不相互独立.

26.设X,Y是两个相互独立的随机变量,其概率密度分别为

?e?y,y?0?1,0?x?1 fY(y)?? fX(x)???0,y?0?0,其它求随机变量Z=X+Y的概率密度函数.

解:设Z的密度函数为fZ(z),则由卷积公式得

fZ(z)??fY(z?x)dx??????01令z?x?tzz?1fY(t)dt

a) 当z<0时,fY(t)=0,∴fZ(z)=0 b) 当0≤z<1时,z-1<0,z≥0

0zfz(z)??z?10dt??e?tdt?1?e?z

0c) 当z≥1时,z-1≥0

fZ(z)??e?tdt?e1?z?e?z?(e?1)e?z

z?1z0,z?0???z0?z?1 综述:fZ(z)??1?e,?(e?1)e?z,z?1?27.一工厂生产的某种设备的寿命X(以年计)服从指数分布,密度函数为

x?1?14e?f(x)??4?0?0?xx?0

为确保消费者的利益,工厂规定出售的设备若在一年内损坏可以调换,若售出一台设备,工厂获利100元,而调换一台则损失200元.求工厂出售一台设备赢利的数学期望. 解:法一:P{X≥1}=

???1f(x)dx????1?1?4edx?e4,设Y表示厂方出售一台设备的赢利4x1数,则Y的分布律为

Y 100 –200 P e∴ E(Y)=100?e?14?14 1?e?14?14

?14?(?200)(1?e)?300e1x?200?33.64。

x??1?1? 法二:E(Y)=?(?200)?e4dx??100?e4dx

0144?x410?x4??1?14 =200e?100e?300e?200?33.64。

28.设随机变量(X,Y)服从正态分布,且X和Y分别服从正态分布N(1,32)

1XY和N(0,42),X与Y的相关系数?XY??,Z??,求Z的数学期望E(Z)和方差

232D(Z);

解: E(Z)=E?1111?XY?1???E(X)?E(Y)??1??0?;

2323?32?3??Y??XY???D???2cov?,? ??2??32? D(Z)=D??XY??X???D??32??31111D(X)?D(Y)?2??cov(X,Y)9432

11111????32??42???XY?D(X)?D(Y)?1?4??????3?4?39433?2??

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