1.设随机变量X在1，2，3，4四个整数中等可能地取值，另一个随机变量Y在1~X中等可能地取一整数值，试求（X，Y）的分布律.
解 由乘法公式容易求得（X，Y）的分布律，易知{X=i，Y=j}的取值情况是：i=1，2，3，4，j取不大于i的正整数，且
P{X=i，Y=j}=P{Y=j｜X=i}P{X=i}=·
于是（X，Y）的分布律为
表3?3
X Y 1 2 3 4 1/4 1/8 1/12 1/16 0 1/8 1/12 1/16 0 0 1/12 1/16 0 0 0 1/16 1 2 3 4 1i1，i=1，2，3，4，j≤i. 4?Ae?(3x?4y),x?0,y?02.设连续型随机变量（X，Y）的密度函数为f(x,y)=?,
其他0,?求 （1）系数A；（2）落在区域D：{0?x?1,0?y?2}的概率。
解：(1) 12; (2) (1-e-3)(1-e-8)
3.设随机变量（X，Y）的概率密度为
f（x，y）=?（1） 确定常数k；
（2） 求P{X＜1，Y＜3}； （3） 求P{X＜1.5}； （4） 求P{X+Y≤4}. 【解】（1） 由性质有
?k(6?x?y),0?x?2,2?y?4,
其他.?0,??????????f(x,y)dxdy??
20?42k(6?x?y)dydx?8k?1,
故 R?18（2） P{X?1,Y?3}? ?(3) P{X?1.5}???1313????f(x,y)dydx
x?1.5???13k(6?x?y)dydx? ?0?288f(x,y)dxdy如图a??f(x,y)dxdy
D1 ?1.50dx?(4) P{X?Y?4}?X?Y?4??127(6?x?y)dy?. 2832f(x,y)dxdy如图b??f(x,y)dxdy
4D2 13
??20dx?4?x212(6?x?y)dy?. 83
题5图
4.设(?,?)的联合密度函数为
?1?,f(x,y)??2??0?x?1,0?y?20,
求（1）?与?中至少有一个小于1/2的概率；（2）???大于1的概率.
5. 设二维连续型随机变量(X,Y)的联合分布函数为
xyF(x,y)?A(B?arctan)(C?arctan)
23求（1）A 、B、C的值， （2）(X,Y)的联合密度， （3） 判断X、Y的独立性。
61??解：（1） A?2,B?,C? ；（2） f(x,y)?2；（3） 独立 ； 22?(4?x)(9?y)?22
6. 设(X,Y)的联合密度为f(x,y)?Ay(1?x),0?x?1,0?y?x，
（1）求系数A，
（2）求(X,Y)的联合分布函数。
（3）求关于X及Y的边缘密度。 （4）X与Y是否相互独立？ （5）求f(yx)和f(xy)。 解：（1）A?24
0??3y4?8y3?12(x?x2/2)y2??（2）F(x,y)??3y4?8y3?6y2?4x3?3x4?1??x?0或y?00?x?10?y?xx?10?y?1 0?x?1x?yx?1y?1?12x2(1?x),0?x?1?12y(?1y2),?0y?1 （3）fx(x)?? ； fy(y)??
0,其他0,其他??（4）不独立
?2y?,0?y?x,0?x?1（5）fYX(yx)??x2 ；
?其他?0,
14
?x)?2(1,y?x?1,0?y?1?2 fXY(xy)??(1?y)
?0,其他?7.设随机变量X~U(0,1)，当观察到X=x（0＜x＜1）时，Y~U(x,1)，求Y的概率密度fY（y）.
解 按题意，X具有概率密度
fX（x）=??1,0?x?1
?0,其他.类似地，对于任意给定的值x（0＜x＜1），在X=x的条件下，Y的条件概率密度
?1?,x?y?1,fY｜X（y｜x）=?1?x
?其他.?0,因此，X和Y的联合概率密度为
?1?,0?x?y?1,f（x，y）=fY｜X（y｜x）fX（x）=?1?x
?其他.?0,于是，得关于Y的边缘概率密度为
fY（y）=
??????y1?dx??ln(1?y),0?y?1,f(x,y)dx???01?x
?0,其他.?8.设X和Y是两个相互独立的随机变量，X在（0，1）上服从均匀分布，Y的概率密度为
1??e?y/2,fY（y）=?2??0,y?0,其他.
（1）求X和Y的联合概率密度；
（2） 设含有a的二次方程为a2+2Xa+Y=0，试求a有实根的概率.
y?1?2?1,0?x?1,?e,y?1,【解】（1） 因fX(x)??? fY(y)???2
0,其他;??0,其他.??1?y/2?e故f(x,y)X,Y独立fX(x)fY(y)??2??0,0?x?1,y?0,其他.
题14图
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(2) 方程a?2Xa?Y?0有实根的条件是
2??(2X)2?4Y?0
故 X2≥Y， 从而方程有实根的概率为：
P{X2?Y}?x2?y??f(x,y)dxdy
1?y/2edy002 ?1?2?[?(1)??(0)]
?0.1445.??dx?1x2
习 题 四
1.设随机变量X的分布律为 X Pk -2 -1 0 1 3 1/5 1/6 1/5 1/15 11/30 求Y=X2的分布律.
解 Y可取的值为0，1，4，9
P(Y?0)?P(X?0)?15117??61530
P(Y?1)?P(X??1)?P(X?1)?1P(Y?4)?P(X??2)?511P(Y?9)?P(X?3)?30故Y的分布律为 Y 0 1 4 9 Pk 1/5 7/30 1/5 11/30 2.证明题
设随即变量X的参数为2的指数分布，证明Y?1?e布。
?2X在区间（0，1）上服从均匀分
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