概率论与数理统计习题答案(廖茂新复旦版)

1.设随机变量X在1,2,3,4四个整数中等可能地取值,另一个随机变量Y在1~X中等可能地取一整数值,试求(X,Y)的分布律.

解 由乘法公式容易求得(X,Y)的分布律,易知{X=i,Y=j}的取值情况是:i=1,2,3,4,j取不大于i的正整数,且

P{X=i,Y=j}=P{Y=j|X=i}P{X=i}=·

于是(X,Y)的分布律为

表3?3

X Y 1 2 3 4 1/4 1/8 1/12 1/16 0 1/8 1/12 1/16 0 0 1/12 1/16 0 0 0 1/16 1 2 3 4 1i1,i=1,2,3,4,j≤i. 4?Ae?(3x?4y),x?0,y?02.设连续型随机变量(X,Y)的密度函数为f(x,y)=?,

其他0,?求 (1)系数A;(2)落在区域D:{0?x?1,0?y?2}的概率。

解:(1) 12; (2) (1-e-3)(1-e-8)

3.设随机变量(X,Y)的概率密度为

f(x,y)=?(1) 确定常数k;

(2) 求P{X<1,Y<3}; (3) 求P{X<1.5}; (4) 求P{X+Y≤4}. 【解】(1) 由性质有

?k(6?x?y),0?x?2,2?y?4,

其他.?0,??????????f(x,y)dxdy??

20?42k(6?x?y)dydx?8k?1,

故 R?18(2) P{X?1,Y?3}? ?(3) P{X?1.5}???1313????f(x,y)dydx

x?1.5???13k(6?x?y)dydx? ?0?288f(x,y)dxdy如图a??f(x,y)dxdy

D1 ?1.50dx?(4) P{X?Y?4}?X?Y?4??127(6?x?y)dy?. 2832f(x,y)dxdy如图b??f(x,y)dxdy

4D2 13

??20dx?4?x212(6?x?y)dy?. 83

题5图

4.设(?,?)的联合密度函数为

?1?,f(x,y)??2??0?x?1,0?y?20,

求(1)?与?中至少有一个小于1/2的概率;(2)???大于1的概率.

5. 设二维连续型随机变量(X,Y)的联合分布函数为

xyF(x,y)?A(B?arctan)(C?arctan)

23求(1)A 、B、C的值, (2)(X,Y)的联合密度, (3) 判断X、Y的独立性。

61??解:(1) A?2,B?,C? ;(2) f(x,y)?2;(3) 独立 ; 22?(4?x)(9?y)?22

6. 设(X,Y)的联合密度为f(x,y)?Ay(1?x),0?x?1,0?y?x,

(1)求系数A,

(2)求(X,Y)的联合分布函数。

(3)求关于X及Y的边缘密度。 (4)X与Y是否相互独立? (5)求f(yx)和f(xy)。 解:(1)A?24

0??3y4?8y3?12(x?x2/2)y2??(2)F(x,y)??3y4?8y3?6y2?4x3?3x4?1??x?0或y?00?x?10?y?xx?10?y?1 0?x?1x?yx?1y?1?12x2(1?x),0?x?1?12y(?1y2),?0y?1 (3)fx(x)?? ; fy(y)??

0,其他0,其他??(4)不独立

?2y?,0?y?x,0?x?1(5)fYX(yx)??x2 ;

?其他?0,

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?x)?2(1,y?x?1,0?y?1?2 fXY(xy)??(1?y)

?0,其他?7.设随机变量X~U(0,1),当观察到X=x(0<x<1)时,Y~U(x,1),求Y的概率密度fY(y).

解 按题意,X具有概率密度

fX(x)=??1,0?x?1

?0,其他.类似地,对于任意给定的值x(0<x<1),在X=x的条件下,Y的条件概率密度

?1?,x?y?1,fY|X(y|x)=?1?x

?其他.?0,因此,X和Y的联合概率密度为

?1?,0?x?y?1,f(x,y)=fY|X(y|x)fX(x)=?1?x

?其他.?0,于是,得关于Y的边缘概率密度为

fY(y)=

??????y1?dx??ln(1?y),0?y?1,f(x,y)dx???01?x

?0,其他.?8.设X和Y是两个相互独立的随机变量,X在(0,1)上服从均匀分布,Y的概率密度为

1??e?y/2,fY(y)=?2??0,y?0,其他.

(1)求X和Y的联合概率密度;

(2) 设含有a的二次方程为a2+2Xa+Y=0,试求a有实根的概率.

y?1?2?1,0?x?1,?e,y?1,【解】(1) 因fX(x)??? fY(y)???2

0,其他;??0,其他.??1?y/2?e故f(x,y)X,Y独立fX(x)fY(y)??2??0,0?x?1,y?0,其他.

题14图

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(2) 方程a?2Xa?Y?0有实根的条件是

2??(2X)2?4Y?0

故 X2≥Y, 从而方程有实根的概率为:

P{X2?Y}?x2?y??f(x,y)dxdy

1?y/2edy002 ?1?2?[?(1)??(0)]

?0.1445.??dx?1x2

习 题 四

1.设随机变量X的分布律为 X Pk -2 -1 0 1 3 1/5 1/6 1/5 1/15 11/30 求Y=X2的分布律.

解 Y可取的值为0,1,4,9

P(Y?0)?P(X?0)?15117??61530

P(Y?1)?P(X??1)?P(X?1)?1P(Y?4)?P(X??2)?511P(Y?9)?P(X?3)?30故Y的分布律为 Y 0 1 4 9 Pk 1/5 7/30 1/5 11/30 2.证明题

设随即变量X的参数为2的指数分布,证明Y?1?e布。

?2X在区间(0,1)上服从均匀分

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