2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义
课堂导学
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1.平面向量数量积的概念
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【例1】 已知|a|=5，|b|=4，a与b的夹角为120°，求：（1）a·b；（2）（a+b）；（3）a-b；（4）（2a-b）·（a+3b）. 思路分析：由于向量的数量积满足乘法对加法的分配律，因此向量的数量积运算可类似于多
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项式的乘法运算，如（a+b）=（a+b）·（a+b）=（a+b）·a+（a+b）·b=a·a+b·a+a·b+b·b= 22a+2a·b+b. 解：（1）a·b=|a||b|cos120° =5×4×(-
1)=-10. 22
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（2）（a+b）=a+2a·b+b
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=|a|+2a·b+|b|=25-2×10+16=21.
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(3)a-b=|a|-|b|=25-16=9.
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（4）（2a-b）·（a+3b）=2a+5a·b-3b
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=2|a|+5a·b-3|b| =2×25+5×(-10)-3×16 =-48. 温馨提示
（1）在进行向量数量积运算时，要严格按运算律进行；（2）由于向量数量积满足乘法对加
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法的分配律，故向量数量积中也有类似多项式乘法的公式：（a±b）=a±2a·b+b,
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（a+b）·（a-b）=a-b（a+b+c）=a+b+c+2a·b+2b·c+2a·c.
【例2】已知a与b的夹角为30°，且|a|=3,|b|=1,求向量p=a+b与q=a-b的夹角的余弦.
思路分析：利用cosθ=
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p?q确定p,q的夹角，必先求pq及|p||q|，而求|p|及|q|利用
|p||q|2
模长公式|p|=p,|q|=q.
解：∵|p|=|a+b|=a2?2a?b?b2?|q|=|a-b|=a2?2a?b?b2?∴cosθ=
3?23cos30??1?7,
3?23cos30??1?1,
p?q227. ??|p||q|77a?b.
|a||b|温馨提示
（1）在求向量的模及两向量夹角时，主要利用公式|a|=a及cosθ=
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（2）向量夹角的计算中涉及了多种形式的向量运算和数量运算，计算时，不仅要防止计算错误的发生，还要区分要进行的是向量运算还是数量运算，从而保证结果准确无误.
2.平面向量数量积的应用
【例3】 已知|a|=4，|b|=3，a与b的夹角为120°，且c=a+2b，d=2a+kb，问当k取何实数时，（1）c⊥d;(2)c∥d
思路分析：依据两个向量垂直的条件是这两个向量的夹角为90°，而两个向量的平行的条件是夹角为0°或180°；再由夹角公式求得所需条件. 解：设c与d的夹角为θ，则由已知,得 c·d=（a+2b）·（2a+kb）
22=2a+（4+k）a·b+2kb
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=2×4+(4+k)×4×3×cos120°+2k·3=8+12k. |c|=|a+2b|=a2?4a?b?4b2 =42?4?4?3cos120??4?32?28.
|d|=|2a+kb|=4a2?4ka?b?k2b2 =4?42?4k?4?3?cos120??k2?32 =9k2?24k?64. ∴cosθ=
c?d6k?4?.
2|c||d|7(9k?24k?64)2. 3(1)要使c⊥d，只要cosθ=0,即6k+4=0,∴k=-(2)要使c∥d,只需cosθ=±1,
即7(9k?24?64)=±(6k+4),解得k=4. 综上，当k=-22时，c⊥d;当k=4时，c∥d. 3温馨提示
两向量平行，夹角为0°或180°,故有a·b=|a||b|或a·b=-|a||b|.而两向量垂直，夹角为90°,所以a·b=0,反之也成立. 3.正确理解两向量夹角的定义
【例4】 Rt△ABC中，已知|AB|=3，|BC|=3，|CA|=32，求AB·BC+BC·CA+CA·AB的值.
思路分析：只需求出向量AB与BC，BC与CA，CA与AB的夹角，利用数量积定义求解.
解：∵∠A=∠C=45°,
∴BC与CA夹角为135°,CA与AB夹角为135°,AB与BC夹角为90°. ∴AB·BC+BC·CA+CA·AB
=BC·CA+CA·AB
=3×32·cos135°+32×3·cos135°=-18.
温馨提示
正确理解两向量夹角的定义，是指同一点出发的两个向量所构成的较小非负角。 各个击破 类题演练1
已知|a|=4，|b|=3，若：（1）a∥b；（2）a⊥b;(3)a与b的夹角为60°，分别求a·b. 解：（1）当a∥b时，若a与b同向，则它们的夹角θ=0°, a·b=|a||b|cos0°=4×3×1=12;
若a与b反向，则a与b的夹角θ=180°， a·b=|a||b|cos180°=4×3×(-1)=-12.
（2）当a⊥b时，a与b的夹角为90°，a·b=|a||b|cos90°=0, （3）当a与b的夹角θ=60°时. a·b=|a||b|cos60°=4×3×
12=6. 变式提升1
设e1,e2是两个单位向量，它们的夹角为60°，则（2e1-e2）·（-3e1+2e2）等于（A.-
92 B.92 C.-8 D.8 解析：（2e1-e2） ·(-3e1+2e2) =-6e2e2
1+7e1·2-2e2
=-6|e22
1|+7|e1||e2|cos60°-2|e2| =-6+72-2 =-
92. 答案：A 类题演练2
已知|a|=2，|b|=1，a与b的夹角为?3，求向量a+b与a-2b的夹角的余弦. 解：a·b=|a||b|cos
?13=2×1×2=1. a2
=4,b2
=1.
(a+b)·(a-2b)=a2-a·b-2b2
=4-1-2=1.
|a+b|2=(a+b)2=a2+2a·b+b2
=4+2+1=7.
|a-2b|2=(a-2b)2
=a2-4a·b+4b2 =4-4×1+4×1=4.
设a+b与a-2b的夹角为θ，则
）
cosθ=
a?b7. ?|a||b|14变式提升2
设向量a，b满足|a|=|b|=1，|3a-2b|=3，求|3a+b|的值.
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解：∵|3a-2b|=3，∴9a-12a·b+4b=9. ∵|a|=|b|=1，∴a·b=
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1. 32
∵|3a+b|=9|a|+6a·b+|b|=9+6×故|3a+b|=23.
1+1=12, 3类题演练3
已知|a|=5,|b|=4,a与b的夹角为60°,试问当k为何值时，向量ka-b与a+2b垂直？ 解：若(ka-b)⊥(a+2b), 则(ka-b)·(a+2b)=0.
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即ka+(2k-1)a·b-2b=0.
k×5+(2k-1)×5×4×cos60°-2×4=0.∴k=∴所以当k=
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14. 1514时，向量ka-b与向量a+2b垂直. 15变式提升3
已知a、b都是非零向量，且a+3b与7a-5b垂直，a-4b与7a-2b垂直，求a与b的夹角. 解：设a、b的夹角为θ，则cosθ=
a?b.
|a||b|又∵a+3b垂直于7a-5b，a-4b垂直于7a-2b， ∴??(a?3b)?(7a?5b)?0,
?(a?4b)?(7a?2b)?0.22??7a?16a?b?15b?0,(1)即?2 2??7a?30a?b?8b?0.(2)∴2a·b=b.
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代入①式，得a=b.∴|a|=|b|.
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12ba?b12??∴cosθ=.∴θ=60°. 2|a||b||b|2类题演练4
如右图，已知△ABC中，a=5,b=8,∠C=60°,求BC·CA.
解：因为|BC|=a=5，|CA|=b=8， 设BC与CA的夹角为θ，
则θ=180°-∠C=180°-60°=120°,
所以BC·CA=|BC||CA|cosθ=5×8cos120°=-20. 变式提升4
在△ABC中，AB=a，BC=b，且a·b>0，则△ABC是（ ）
A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不能确定 解析：由两向量夹角的概念，a与b的夹角应为180°-∠B. 因为a·b=|a||b|cos(180°-B)=-|a||b|cosB>0,所以cosB<0.
又因为角B∈(0°,180°),所以角B为钝角.所以△ABC为钝角三角形. 答案：C