数列综合问题
高考要求
数列的概念 数列的概念和表示法 等差数列的概念 等差数列 要求层次 A B C B C 重难点 根据一些数列的前几项抽象、归纳数列的通项公式 根据数列的递推公式写出数列的前几项 等差数列的定义、通项公式、性质的理解与应用 灵活应用求和公式解决问题 等差数列的通项公式与前n项和公式 等比数列的概念 等差数列的定义、通项公式、性质的理解与应用 灵活应用求和公式解决问题 等比数列 等比数列的通项公式与前n项和公式 例题精讲
板块一：等差等比综合
典例分析：
【例1】 设等比数列?an?的公比为q，前n项和为Sn，若Sn?1，Sn，Sn?2成等差数列，则q的值
为 ．
【例2】 已知数列?an?满足a1?1,a2?3,an?2?3an?1?2an(n?N*).
⑴证明：数列?an?1?an?是等比数列； ⑵求数列?an?的通项公式；
⑶若数列?bn?满足4b?14b?1...4b?1?(an?1)b(n?N*),证明?bn?是等差数列．
12nn
【点评】 若数列?an?的递推公式的一般形式为an?1?pan?qan?1
当p?q?1时，有an?1?an??q(an?an?1)．于是?an?1?an?是以a2?a1为首项，?q为公比的等比数列，接下去就可以按照例题2的方法继续了．
当p?q?1时，存在?，?满足an?1??an??(an??an?1)，与an?1?pan?qan?1比较系数得
????p，????q．可见?，?是二次方程t2?pt?q?0的两个根，通过解此方程求?，? 的值，再进一步推导an的表达式．由于高考中不涉及连续三项递推公式，因此在此不再举例．
【例3】 已知数列?an?的首项为a1?3，通项an与前n项和Sn之间满足2an?Sn?Sn?1(n≥2)．
⑴求证：??1??是等差数列，并求公差； S?n?⑵求数列?an?的通项公式．
【例4】 已知数列?an?的前n项和为Sn，且Sn?2an?2(n1,2?,3)，数列?bn?中，b1?1，点P(bn，bn?1)在直线y?x?2上．
⑴求数列?an?，?bn?的通项公式an和bn； ⑵设cn?an?bn，求数列?cn?的前n项和Tn， 并求满足Tn?167的最大正整数n．
【例5】 已知等比数列?an?满足a1?a6?11，且a3a4?32. 9⑴求数列?an?的通项an；
24⑵如果至少存在一个自然数m，恰使am?1，(am)2，am?1?这三个数依次成等差数列，问这
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样的等比数列?an?是否存在?若存在，求出通项公式；若不存在，请说明理由.
【例6】 已知等差数列?an?，公差为d，求Sn?a1x?a2x3?a3x5?anx2n?1(x?1)
【例7】 已知数列?an?是等差数列，且a1?2，a1?a2?a3?12．（2003北京-文-16）
⑴求数列?an?的通项公式；
⑵令bn?an?3n，求数列?bn?前n项和的公式．
【例8】 在等差数列?an?中，a1?1，前n项和Sn满足条件
S2n4n?2?,n?1,2,Snn?1，
⑴求数列?an?的通项公式；
⑵记bn?anpa(p?0)，求数列?bn?的前n项和Tn。
n
【例9】 已知数列?an?的前n项和为Sn，a1?1，且对一切自然数n有2Sn?(n?p)an，p为常数
⑴求P的值及a3; ⑵求an并加以证明;
⑶记f(x)?a1x?a2x2????anxn，试比较f??与2的大小．
?2?
【例10】 若公比为c的等比数列?an?的首项a1?1且满足an??1?an?1?an?2(n?3,4,) 2⑴求c的值；
⑵求数列?nan?的前n项和Sn．（2005天津）