2013年计量经济学第二次作业答案
（chap3-4）
Part 1：教材课后习题 第三章
3.5 在调查一项大学GPA与在各项活动中所耗费的时间之关系的研究中，你对几个学生分发
了调查问卷。学生被问到他们每周在学习、睡觉、工作和闲暇这四种活动中各花多少小时。任何活动都被列为这四种活动之一。所以对每个学生来说这四个活动的小时数之和都是168. (i) 在模型
GPA??0??1study??2sleep??3work??4leisure?u
中，保持sleep、work和leisure不变而改变study是否有意义？
没有意义。通过定义，有study + sleep + work + leisure = 168，因此如果改变study，我们必须改变sleep、work和leisure中的至少一个变量，以满足它们的和为168。 (ii) 解释为什么这个模型违背了MLR.3？
通过第(i)部分的分析，study 是其余几个解释变量的线性组合，也就是：study = 168 ? sleep ? work ? leisure，这意味着变量之间存在着完全的线性关系，因此违背MLR.3。 (iii) 你如何才能将这个模型重新表述，使得它的参数具有一个有用的解释，而又不违背假定MLR.3？
只需要删除其中一个解释变量就可以了，比如删除leisure，建立模型：
GPA =
?0 + ?1study + ?2sleep + ?3work + u.
此时，参数?1可以解释为保持sleep, work, 和u不变，当study增加一个小时，GPA的改变。
3.6 考虑含有三个自变量的多元回归模型，并满足假定MLR.1~MLR.4，
y??0??1x1??2x2??3x3?u
对x1和x2的系数之和感兴趣，记???1??2。
1
???????是?的一个无偏估计量。 (i) 证明?12???????E?E???X???? E??????、Var????和Cov???,???表示Var????。 (ii) 在给定自变量样本的条件下，用Var???X??Var???X??Var???X??Cov???,??X? Var???X?E?????X?E??X?E??X???? E?12121212121212????
3.11 假设决定
y的总体模型是
y??0??1x1??2x2??3x3?u
模型满足假定MLR.1~MLR.4。但是实际估计的是遗漏x3的模型。令?0，?1和?2为y对x1和x2回归的OLS估计量。证明?1的条件期望是：
E?1|X??1????i?13n?r?x?r?i?12i1ni1i3
?i1是x1对x2回归所得到的OLS残差，X表示自变量样本的集合。 其中r证明：
从方程(3.22)，有
?1?
?r?y
i?1
n
n
i1i
,
?r?
i?1
2i1
将yi代入上式，有
?1??r???i1i?1n0??1xi1??2xi2??3xi3?u?i?r?i?1n.
2i1?i1是xi1关于xi2回归的残差，有 由于r?r?i?1ni1 = 0,
?r?xi?1ni1i2 = 0, 和
2
?r?xi?1ni1i1 =
?r?i?1n2i1，
于是，上式中的分子可以写成： 于是，有
???3?r?i1xi3??r?i1ui. ?1?r2i1i?1i?1i?1nnn?1??1??i?13n?r?x?r?i?12i1ni1i3??r?ui?1nn1ii
2i1?r?i?1从而可以证明
E?1|X??1????i?13n?r?x?r?i?12i1ni1i3
3.13
(i) 在前4个高斯-马尔可夫假定之下，考虑简单回归模型y??0??1x?u。对某个函数
g?x?，比如g?x??x2或g?x??log?1?x?，定义zi?g?xi?。定义一个斜率估计量为：
?1???z?z?yini??z?z?xii?1i?1n
i证明?1是线性无偏的。 证明：
为简化符号，定义szx??(z?z)x，于是
iii?1n?1??(z?z)yii?1niszx.
显然这个表达式是yi的线性函数，权重为wi??zi?z?szx。
为证明无偏性，代入yi的表达式：
3
?1??(z?z)(?ii?1nn0??1xi?ui)nszx??0?(zi?z)??1szx??(zi?z)uii?1i?1szx
??1??(z?z)uii?1niszxE(?1X)??1?
?(z?z)E(uii?1niX)??1
szx(ii) 增加同方差假定MLR.5，证明，在给定自变量样本的条件下，
Var?1X????2??zi?z?i?1n2??z?zx?i????ii?1??n2
证明：
?n?n2z?zuz?zVar?uiX?????i??i??iVar?1X?Var?i?1X??i?12szxszx??????????2??zi?z?i?1n2s2zx??2??zi?z?i?1n
2?n?z?zx??i???i?i?1?2(iii) 在高斯-马尔可夫假定下，证明在给定自变量样本的条件下，
?X?Var?X Var?11?????是OLS估计量。 其中?1提示：附录B中的柯西-施瓦兹不等式意味着：
n?1n??1n2??12?z?zx?x?z?zx?x????????i?n?i??n?i??n?i?
?i?1??i?1??i?1?2证明：
4
?X?因为Var?1???2??xi?x?i?1n
2重新组织上述柯西-施瓦兹不等式的形式，有
??zi?z?i?1nn2??z?zx?x????i??i??i?1?nn2?1??x?x?ii?1in
2由于
??z?z??x?x????z?z?x，于是，有
iiii?1i?1?2??z?z?ii?1n2szx2??2??x?x?ii?1n
2?X?Var?X。 于是，证明了在给定自变量样本的条件下，Var?11
第四章
4.3 变量rdintens是研发支出（R&D）占销售额的百分比，销售额以百万美元度量，变量
????profmarg是利润占销售额的百分比。利用RDCHEM中32家化工企业的数据，估计如下
方程：
rdintens?0.472?0.321log?sales??0.050profmarg?1.369?n?32,R2?0.099?0.216??0.046?
(i) 解释log?sales?的系数。特别地，如果sales增加10%，估计rdintens会变化多少个百分点？这在经济上是一个很大的影响吗？
?rdintens =.321 ?log(sales) = (.321/100)[100??log(sales)] ? .00321(%?sales).
于是，如果%?sales = 10, ?rdintens ? .032, 也就是说大约增加3/100。 对于这么大的销售额比例的增加，rdintens增加的比例相对而言是很小的。 (ii) 检验假设R&D的强度不随sales而变化，备择假设是：R&D的强度随着销售额的增加而提高。在5%和10%的显著性水平上进行这个检验。
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