八年级数学培优竞赛专题
专题24 图形的折叠与剪拼
阅读与思考
图形的折叠是指把某个图形或部分沿某直线翻折，这条直线为对称轴，在折叠过程中，线短的长度、角的度数保持不变.
图形的剪拼是指对某个图形通过有限次的剪裁后重新接成另外一个新的几何图形，在剪拼过程中，原图形与新图形的面积一般保持不变.
解答图形的折叠与剪拼问题，要抓住折叠与剪拼过程中一些量的不变性，将计算、推理与合情想象结合起来，常用到全等三角形、勾股定理、面积等知识与方法.
折叠问题的实质是对称问题，“遇到折叠用对称”就是运用对称的性质： ① 关于一条直线对称的两个图形全等； ② 对称轴是对应点连线的中垂线.
例题与求解
【例1】 如图，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，将矩形沿AC折叠，点D落在D?处，则重叠部分△AFC的面积为＿＿＿＿＿.
（山东省竞赛试题）
yDCQRAFBxOP
例1题图 例2题图
0D'
解题思路：△AFC的高为BC，只需求出AF，注意到?D?＝90，AF＝FC
【例2】如图，直线y??2x?6 与x轴，y轴分别交于P，Q两点，把△POQ沿PQ翻折，点O落在R处，则点R的坐标是（ ）
A.(2412,) B.（2,1） 55C.（6,3） D.（7，3.5）
（江苏省竞赛试题）
解题思路：过点R作x轴，y轴的垂线，再利用相似三角形的性质可得垂线段的长度即求得点R的坐标.
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解剪拼问题时先利用剪拼后的图形所需关键线段的长度，然后，从剪拼前的图形中寻找这些长度进行剪拼.
【例3】 如图，将边长为12cm的正方形ABCD折叠，使得A点落在CD边上点E处，然后压平折痕FG，若FG＝13cm，求CE长.
（北京市竞赛试题）
解题思路：由折叠可得A与E关于FG对称，则FG⊥AE，可证明FG＝AE，这是解本例的关键.
【例4】 将一矩形纸片OABC放在平面直角坐标系中，O(0，0)，A(6，0)，C(0，3)．动点Q2秒时，动点P从点A出发3以相等的速度沿AO向终点O运动．当其中一点到达终点时，另一点也停止运动．设点P的运动时间为t（秒）．
从点O出发以每秒1个单位长的速度沿OC向终点C运动，运动
（1）用含t的代数式表示OP，OQ；
（2）当t?1时，如图1，将△OPQ沿PQ翻折，点O恰好落在CB边上的点D处，求点D的坐标；
（3）连结AC，将△OPQ沿PQ翻折，得到△EPQ，如图2．问：PQ与AC能否平行？PE与AC能否垂直？若能，求出相应的t值；若不能，说明理由．
（绍兴市中考试题） y y
D B B C C
E
Q Q
O P 图1
A x O 图2 P A x
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解题思路：对于（3），假设能，由比例线段求出t的值，关键是看相应t的值是否在t的取值范围.
折纸、剪纸是最富于自然情趣而又形象生动的实验，同时说明了存在的事实是怎样被发现的，现象又是怎样获得证实的，在平面几何的一些主要学习环节发挥重要作用.
【例5】 用10个边长分别为3，5，6，11，17，19，22，23，24，25的正方形，可以拼接一个长方形.
（1）求这个长方形的长和宽； （2）请画出拼接图.
（“华杯赛”决赛试题）
解题思路：运用剪拼前后图形面积不变求长方形的长和宽；利用长方形对边相等的性质画拼接图.
【例6】 将正方形纸片ABCD折叠，使顶点A与CD边上的点M重合，折痕交AD于E，交BC于F，边AB折叠后与BC交于点G.
（1）如果M为CD边的中点，求证：DE：DM：EM＝3：4：5；
（2）如果M为CD边上的任意一点，设AB＝2a，问△CMG的周长是否有与点M的位置关系？若有关，请把△CMG的周长用含CM的长x的代数式表示；若无关，请说明理由．
解题思路：折痕EF两旁部分图形是关于EF成对称的，对于（2），通过相似三角形性质，把△CMG的周长用相关代数式表示，解题的关键是将几何问题代数化.