研 究 生 课 程 论 文 封 面
课程名称： 数值分析
论文题目：基于Matlab对多自由度振动系统的数值分析 学生班级； 机械工程机械电子系3班 学生姓名： 陈大爷 任课教师： 王师傅 学位类别： 学位课（2学分，32学时）
评分标准及分值 评分 选题与参阅资料 （分值 ） 论文内容 （分值 ） 论文评语： 论文表述 （分值 ） 创新性 （分值 ） 总 评 分 评阅时间 年 月 日 注：此表为每个学生的论文封面，请任课教师填写分项分值 评阅教师: 基于Matlab对多自由度振动系统的数值分析
摘要：多自由度主要研究矩阵的迭代求解，我们在分析抽象的理论的同时根据MATLAB编程实现数据的迭代最后可以得到所要的数据，使我们的计算更加简便。 关键词： 振动系统；多自由度 ；迭代；MATLAB
引言：在工程振动中，研究某系统振动时，首先要求出系统的固有频率。对于多自由度振动系统，计算系统固有频率与主振型主要有2种方法：(1)利用特征矩阵方程式与特征方程式求解；(2)矩阵迭代法求解【1】。MATLAB作为一个以矩阵和数组为核心计算的软件，对矩阵迭代法中的矩阵迭代计算尤其适合【2】。
本文主要利用MATLAB对多自由度系统振动矩阵迭代求解。
一.多自由度振动系统 1.多自由度振动系统的数学模型
多自由度振动系统的数学模型【1】：
????C??x????K??x???f?x?M??? （1-1）
其中?M?、?C?、?K?、?f?和?x?分别为质量矩阵、阻尼矩阵、刚度矩阵、力向量和响应向量。把这个时域矩阵方程变换到拉氏域（变数为p），并假定初始位移和初始速度为零，则得：
(p2?M??p?C???K?)?X(p)???F(p)? （1-2）
或 ?Z(p)??X(p)???F(p)? （1-3）
式中 ?Z(p)?：动刚度矩阵。
对于N自由度系统，此方程有2N个复共轭对出现的特征根：
??i???i?j?i 其中?i阻尼因子；?i为阻尼固有频率。 ???????j?ii?i将???i和???i带入公式中，得
A?i??i?i （1-4）
二．多自由度振动系统的数值分析
1.多自由度振动系统的迭代运算
记X1为初始迭代列阵，由展开定理，X1可以表示为
X1?a1?1?a2?2???an?n （1-5）
对上式左乘矩阵A，由式（1-4）得知第一次迭代后所得的列阵为
??n??2a??a????a?n?（1-6） X2?AX1?a1?1?1?a2?2?2???an?n?n=?1?22n?11??1?1??经第二次迭代后，得
X?2????2??n?23?AX2?1??a1?1?a2??2???2???an????????1??1??n??? ?同理第（r-1）次迭代后的结果为
X???r?1??n?r?1r?AXr?1??r?1??1??a??211?a2?????????1??2??an???1??n??? ?2.矩阵迭代法的实例分析
m m 2m k k 2k 图1-1 分析图
用矩阵迭代法求解过程如下：
解: 用影响系数法求得系统的质量矩阵和刚度矩阵为
?m00??2K?K0?M???0m0?K???K3K?2K??02m???0????0?2KK? 2??算出K的逆阵及系统的动力矩阵为
?1??111????112?K?1k122??，A?K?1M?m??122.5??k?124??? ?125??若X1??111?T，第一次迭代后得到
Ym??4??1?0.500000??1?AX1?k?7?， X2?Y1??0.857000 ??8???Y1?3????1.000000??
（1-7）