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（2013·新课标Ⅰ，16）若函数f(x)＝(1－x2)(x2＋ax＋b)的图像关于直线x＝－2对称，则f(x)的最大值为_____． 【答案】16 解析：∵函数f(x)的图像关于直线x＝－2对称，∴f(x)满足f(0)＝f(－4)，f(－1)＝f(－3)，即
?b??15?16?4a?b?,?a?8,解得∴f(x)＝－x4－8x3－14x2＋8x＋15. ???0??8?9?3a?b?,?b?15.由f′(x)＝－4x3－24x2－28x＋8＝0，得x1＝－2－5，x2＝－2，x3＝－2＋5.
易知，f(x)在(－∞，－2－5)上为增函数，在(－2－5，－2)上为减函数，在(－2，－2＋5)上为增函数，在(－2＋5，＋∞)上为减函数．
∴f(－2－5)＝[1－(－2－5)2][(－2－5)2＋8(－2－5)＋15]＝(－8－45)(8－45)＝80－64＝16.
f(－2)＝[1－(－2)2][(－2)2＋8×(－2)＋15]＝－3(4－16＋15)＝－9.
f(－2＋5)＝[1－(－2＋5)2][(－2＋5)2＋8(－2＋5)＋15] ＝(－8＋45)(8＋45)＝80－64＝16. 故f(x)的最大值为16.
三、解答题
(2019·全国卷Ⅰ，理20)已知函数f(x)?sinx?ln(1?x)，f?(x)为f(x)的导数．证明：
（1）f?(x)在区间(?1,)存在唯一极大值点； （2）f(x)有且仅有2个零点．
20．解：（1）设g(x)?f'(x)，则g(x)?cosx??211，g'(x)??sinx?.
(1?x)21?x当x???1,设为?.
?????????时，g'(x)单调递减，而g'(0)?0,g'()?0，可得g'(x)在??1,?有唯一零点，
2?2?2?则当x?(?1,?)时，g'(x)?0；当x???,?????时，g'(x)?0. 2???????所以g(x)在(?1,?)单调递增，在??,?单调递减，故g(x)在??1,?存在唯一极大值点，
2??2?????即f'(x)在??1,?存在唯一极大值点.
2??（2）f(x)的定义域为(?1,??).
（i）当x?(?由（1）知，f'(x)在(?1,0)单调递增，而f'(0)?0，所以当x?(?1,0)1,0]时，
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时，f'(x)?0，故f(x)在(?1,0)单调递减，又f(0)=0，从而x?0是f(x)在(?1,0]的唯一零点.
??????（ii）当x??0,?时，由（1）知，f'(x)在(0,?)单调递增，在??,?单调递减，而f'(0)=0，
22??????????f'???0，所以存在????,?，使得f'(?)?0，且当x?(0,?)时，f'(x)?0；当?2??2???????x???,?时，f'(x)?0.故f(x)在(0,?)单调递增，在??,?单调递减. ?2??2?????????????又f(0)=0，f???1?ln?1???0，所以当x??0,?时，f(x)?0.从而，f(x) 在?0,??2??2??2??2?没有零点.
??????（iii）当x??,??时，f'(x)?0，所以f(x)在?,??单调递减.而
?2??2????所以f(x)在?,??有唯一零点.
?2????f???0，f(?)?0，?2?（iv）当x?(?,??)时，ln(x?1)?1，所以f(x)<0，从而f(x)在(?,??)没有零点. 综上，f(x)有且仅有2个零点.
(2019·全国卷Ⅱ，理20)已知函数f?x??lnx?x?1x?1．
（1）讨论f?x?的单调性，并证明f?x?有且仅有两个零点；
（2）设x0是f?x?的一个零点，证明曲线y?lnx在点A(x0,lnx0)处的切线也是曲线y?e的切线．
x解：（1）f?x?的定义域为?0,1??1,???，f'?x??12. ?x?x?1?2当x??0,1?时，f'?x??0，f?x?递增； 当x??1,???时，f'?x??0，f?x?递增；
f?x?在?0,1?和?1,???上分别递增.
e2?1e2?3e?3e?3e?12???0， f?e??1??0，f?e??2?2e?1e?1e2?1e2?1所以f?x?在e,e2上有唯一零点，即在?1,???有唯一零点.
??????广东省中山一中，朱欢收集整理，欢迎交流
e?1?1?f????1??0，ee?1??所以f?x?在?e2?1?1?f?2???2?2?0. ee?1???11?,?上有唯一零点，即在?0,1?有唯一零点. 2?ee?所以f?x?有且只有2个零点.
（2）x0是f?x?的1个零点，所以lnx0?x0?1. x0?11?x?x0?. x0y?lnx在x?x0处的切线为：y?lnx0?ex1?lnx0过?x0,lnx0?作y?e的切线，则k?e?.
x1?x0xx1x则k?e1?lnx0.
所以y?lnx在?x0,lnx0?处的切线也是曲线y?e的切线.
x解法2：（1）f?x?的定义域为?0,1??1,???.
f?x??lnx?x?1x?1?lnx?1?2x?1.
y?lnx在?0,???上递增，y??1?2x?1在???,1??1,???上递增，
所以f?x?在?0,1?和?1,???上分别递增.
e2?1e2?3e?3e?3e?12???0， f?e??1??0，f?e??2?2e?1e?1e2?1e2?1所以f?x?在e,e2上有唯一零点，即在?1,???有唯一零点.
??????e?1?1?f????1??0，ee?1??所以f?x?在?e2?1?1?f?2???2?2?0. ee?1???11?,?上有唯一零点，即在?0,1?有唯一零点. 2ee??所以f?x?有且只有2个零点.
11?lnx0x?e（2）因为，故点B（–lnx0，）在曲线y=e上． x0x0广东省中山一中，朱欢收集整理，欢迎交流
由题设知f(x0)?0，即lnx0?x0?1， x0?111x0?1?lnx0?x0x0x0?11??． 故直线AB的斜率k??lnx0?x0?x0?1?xx00x0?1曲线y=e在点B(?lnx0,x
111)处切线的斜率是，曲线y?lnx在点A(x0,lnx0)处切线的斜率也是， x0x0x0x
所以曲线y?lnx在点A(x0,lnx0)处的切线也是曲线y=e的切线．
(2019·全国卷Ⅲ，理20)已知函数f(x)?2x?ax?b．
（1）讨论f (x)的单调性；
（2）是否存在a，b，使得f (x)在区间[0,1]的最小值为-1且最大值为1？若存在，求出a，b的所有值；若不存在，说明理由．
220．解：（1）f?(x)?6x?2ax?2x(3x?a)，令f?(x)?0，得x=0或x?32a． 3若a>0，则当x?(??,0)??a??a???,?时，f?(x)?0；当x??0,?时，f?(x)?0．故f(x)在?3??3??a??a?(??,0),?,???单调递增，在?0,?单调递减；
?3??3?若a=0，f(x)在(??,??)单调递增；
若a<0，则当x????,??a??3??a?(0,??)时，f?(x)?0；当x??,0?时，f?(x)?0．故f(x)在
?3?a???a????,?,(0,??)单调递增，在?,0?单调递减．
3???3?（2）满足题设条件的a，b存在．
（i）当a≤0时，由（1）知，f(x)在[0，1]单调递增，所以f(x)在区间[0，l]的最小值为f(0)=b，最大值为f(1)?2?a?b．此时a，b满足题设条件当且仅当b??1，2?a?b?1，即a=0，b??1． （ii）当a≥3时，由（1）知，f(x)在[0，1]单调递减，所以f(x)在区间[0，1]的最大值为f(0)=b，最小值为f(1)?2?a?b．此时a，b满足题设条件当且仅当2?a?b??1，b=1，即a=4，b=1．
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a3?a??b，最大值为b或2?a?b．（iii）当0 327??a3?b??1，b=1，则a?332，与0 （2018·新课标I，理21）已知函数f?x??（1）讨论f?x?的单调性； （2）若f?x?存在两个极值点x1，x2，证明： 1?x?alnx. xf?x1??f?x2??a?2. x1?x21ax2?ax?1解析：解法1：(1)函数f?x?的定义域为?0,???，且f??x???2?1???. 2xxx当a?0时，f??x??0，f?x?在?0,???上单调递减； 当a?0时，??a?4. 2①若0?a?2，则??a?4?0，此时f??x??0，f?x?在?0,???上单调递减. 2②若a?2，则??a?4?0，方程x?ax?1?0有两根x1,x2， 22?x1?x2?a?0a?a2?4且?，故两根x1,x2都为正数，且x1,2?. 2?x1x2?1?0?a?a2?4?当x??0,???2???a?a2?4?,???时，f??x??0； ???2???a?a2?4a?a2?4?,当x???时，f??x??0. ??22??综上可知，当a?2时，f?x?在?0,???上单调递减； ?a?a2?4??a?a2?4a?a2?4?,当a?2时，f?x?在?0,?上单调递减，在??单调递增，在 ????222????