二次函数专题二：二次函数、一元二次方程
及一元二次不等式的关系
问题1：你能快速地求出一元二次方程x2?2x?3?0的根吗？
问题2：请你画出函数y?x2?2x?3图象，研究图象上是否有一些特殊的点和一元二次方程x2?2x?3?0的根之间有某种联系，你有什么发现吗？
2问题3：研究一元二次方程x?2x?3?0的根的个数及其判别式与二次函数
y?x2?2x?3的图像和x轴的交点个数，你能得到什么结论？
问题4：你能结合问题2、3，得到一般化的结论吗？
归纳：一元二次方程ax2?bx?c?0(a?0)的根的个数与二次函数y?ax2?bx?c(a?0) 的图像和x轴的位置关系之间有什么联系？
1．判断下列各抛物线是否与x轴相交，如果相交，求出交点的坐标。 （1）y?6x2?2x?1 （2）y??15x2?14x?8 （3）y?x2?4x?4
2．如图，抛物线y?ax2?bx?c(a?0)的对称轴是直线x?1，且经过点
3 y P（3，0），则方程ax2?bx?c?0(a?0) 的根为： 。
3．已知抛物线y?x?6x?a的顶点在x轴上，则a= ；若抛物线与x轴有两个交点，则a的范围是 ；与x轴最多只有一个交点，则a的范围是 .
24．已知抛物线y?x?px?q与x轴的两个交点为（-2，0），（3，0），则p= ，
2P –1 O 1 3 xq= . 5．抛物线y?ax?bx?c(a?0)的图象全部在x轴下方的条件是（ ） A． a＜0 b-4ac≤0 B．a＜0 b-4ac＞0 C．a＞0 b-4ac＞0 D．a＜0 b-4ac＜0
6.不论x取何值，抛物线y?ax?bx?c总在x轴上方，则a,b,c满足的条件是（ ） A.a?0,b?4ac?0 C. a?0,b?4ac?0
2222
2
2
2
2
B.a?0,b?4ac?0
22 D.a?0,b?4ac?0
7.根据下列表格的对应值： x 3.23 3.24 3.25 3.26 ax2?bx?c －0.06 －0.02 0.03 0.09
2判断方程ax?bx?c?0(a≠0，a，b，c为常数)一个解x的范围是（ ）
A .3＜x＜3.23 B. 3.23＜x＜3.24 C. 3.24＜x＜3.25 D. 3.25 ＜x＜3.26
8．已知二次函数y?x?2kx?k?k?2． （1）当实数k为何值时，图象经过原点？
（2）当实数k在何范围取值时，函数图象的顶点在第四象限内？
229．已知抛物线y?mx2?(3?2m)x?m?2(m?0)与x轴有两个不同的交点． （1）求m的取值范围；
（2）判断点P（1，1）是否在抛物线上
（3）当m=1时，求抛物线的顶点Q及P点关于抛物线的对称轴对称的点P′的坐标，并过P′、Q、P三点，画出抛物线草图．
210.二次函数y=ax?bx?c (a≠0，a，b，c为常数)图象如图所示，根据图象解答问题
y （1）写出方程ax2?bx?c?0的两个根
x=1 22 写出不等式ax?bx?c（2）＞0的解集
2（3）若方程ax?bx?c=k有两个不相等的实数根，
O 3 x 求k的取值范围.
提高题：（选做）
1．若函数y?x2?2px?q（p，q是实数）与x轴没有交点 （1）求证：p?q?1； 4（2）试写出上述命题的逆命题；判断逆命题是否正确，若正确请加以证明；若不正确，请举一反例说明．
2．已知二次函数y1=x2-2x-3。
（1）结合函数y1的图象，确定当x取什么值时，y1＞0， y1＝0，y1＜0； （2）根据（1）的结论，确定函数y2?1(y1?y1)关于x的解析式； 2（3）若一次函数y=kx+b（k≠0）的图象与函数y2的图象交于三个不同的点，试确定实数k与b应满足的条件。