二次函数专题二二次函数和一元二次方程及一元二次不等式的关系

二次函数专题二:二次函数、一元二次方程

及一元二次不等式的关系

问题1:你能快速地求出一元二次方程x2?2x?3?0的根吗?

问题2:请你画出函数y?x2?2x?3图象,研究图象上是否有一些特殊的点和一元二次方程x2?2x?3?0的根之间有某种联系,你有什么发现吗?

2问题3:研究一元二次方程x?2x?3?0的根的个数及其判别式与二次函数

y?x2?2x?3的图像和x轴的交点个数,你能得到什么结论?

问题4:你能结合问题2、3,得到一般化的结论吗?

归纳:一元二次方程ax2?bx?c?0(a?0)的根的个数与二次函数y?ax2?bx?c(a?0) 的图像和x轴的位置关系之间有什么联系?

1.判断下列各抛物线是否与x轴相交,如果相交,求出交点的坐标。 (1)y?6x2?2x?1 (2)y??15x2?14x?8 (3)y?x2?4x?4

2.如图,抛物线y?ax2?bx?c(a?0)的对称轴是直线x?1,且经过点

3 y P(3,0),则方程ax2?bx?c?0(a?0) 的根为: 。

3.已知抛物线y?x?6x?a的顶点在x轴上,则a= ;若抛物线与x轴有两个交点,则a的范围是 ;与x轴最多只有一个交点,则a的范围是 .

24.已知抛物线y?x?px?q与x轴的两个交点为(-2,0),(3,0),则p= ,

2P –1 O 1 3 xq= . 5.抛物线y?ax?bx?c(a?0)的图象全部在x轴下方的条件是( ) A. a<0 b-4ac≤0 B.a<0 b-4ac>0 C.a>0 b-4ac>0 D.a<0 b-4ac<0

6.不论x取何值,抛物线y?ax?bx?c总在x轴上方,则a,b,c满足的条件是( ) A.a?0,b?4ac?0 C. a?0,b?4ac?0

2222

2

2

2

2

B.a?0,b?4ac?0

22 D.a?0,b?4ac?0

7.根据下列表格的对应值: x 3.23 3.24 3.25 3.26 ax2?bx?c -0.06 -0.02 0.03 0.09

2判断方程ax?bx?c?0(a≠0,a,b,c为常数)一个解x的范围是( )

A .3<x<3.23 B. 3.23<x<3.24 C. 3.24<x<3.25 D. 3.25 <x<3.26

8.已知二次函数y?x?2kx?k?k?2. (1)当实数k为何值时,图象经过原点?

(2)当实数k在何范围取值时,函数图象的顶点在第四象限内?

229.已知抛物线y?mx2?(3?2m)x?m?2(m?0)与x轴有两个不同的交点. (1)求m的取值范围;

(2)判断点P(1,1)是否在抛物线上

(3)当m=1时,求抛物线的顶点Q及P点关于抛物线的对称轴对称的点P′的坐标,并过P′、Q、P三点,画出抛物线草图.

210.二次函数y=ax?bx?c (a≠0,a,b,c为常数)图象如图所示,根据图象解答问题

y (1)写出方程ax2?bx?c?0的两个根

x=1 22 写出不等式ax?bx?c(2)>0的解集

2(3)若方程ax?bx?c=k有两个不相等的实数根,

O 3 x 求k的取值范围.

提高题:(选做)

1.若函数y?x2?2px?q(p,q是实数)与x轴没有交点 (1)求证:p?q?1; 4(2)试写出上述命题的逆命题;判断逆命题是否正确,若正确请加以证明;若不正确,请举一反例说明.

2.已知二次函数y1=x2-2x-3。

(1)结合函数y1的图象,确定当x取什么值时,y1>0, y1=0,y1<0; (2)根据(1)的结论,确定函数y2?1(y1?y1)关于x的解析式; 2(3)若一次函数y=kx+b(k≠0)的图象与函数y2的图象交于三个不同的点,试确定实数k与b应满足的条件。

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