数形结合
实现数形结合，常与以下内容有关：①实数与数轴上的点的对应关系；②函数与图象的对应关系；③曲线与方程的对应关系；④以几何元素和几何条件为背景，建立起来的概念，如复数、三角函数等；⑤所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义。如等式(x?2)?(y?1)?4 一、联想图形的交点
例1. 已知0?a?1，则方程a|x|22?|logax|的实根个数为()
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 1个或2个或3个
|x| 分析：判断方程的根的个数就是判断图象y?a与y?|logax|的交点个数，画出两个函数图象，易知两图象只有两个交点，故方程有2个实根，选（B）。 例2. 解不等式x?2?x
令y1?
x?2，y2?x，则不等式x?2?x的解，就是使y1?x?2的图象在y2?x的上方的那段对应的横坐标，如下图，不等式的解集为{x|xA?x?xB}而xB可由x?2?x，解得，xB?2，xA??2，故不等式的解集为{x|?2?x?2}。
练习：设定义域为R函数f(x)??实数解的充要条件是（ ）
?lgx?1 x?1 x?1?0 ，则关于x的方程f2(x)?bf(x)?c?0有7个不同
A.b?0,c?0 B.b?0,c?0 C.b?0,c?0 D.b?0,c?0 答案C
二、联想绝对值的几何意义
x例1、已知c?0，设P：函数y?c在R上单调递减，Q：不等式x?x?2c?1的解集为R，如
果P与Q有且仅有一个正确，试求c的范围。
因为不等式x?x?2c?1的几何意义为：在数轴上求一点P(x)，使P到A(0),B(2c)的距离之和的最小值大于1，而P到AB二点的最短距离为AB?2c?1，即c?即c?1
1x而P：函数y?c在R上单调递减，2?由题意可得：0?c?三、联想二次函数
1或c?1 21
例1、已知关于x的方程x2?4x?5?m有四个不相等的实根，则实数m的取值范围为 分析：直接求解，繁难！。由方程联想二次函数进行数形结合，以数助形，则简洁明了。
2设y1?x?4x?5,y2?m。又y1为偶函数，由图可知1?m?5
四、联想反函数的性质
例1、方程2x?x?3,log2x?x?3的实根分别为x1,x2，则x1?x2= 解：令y1?2x,y2?log2x,y3?3?x
?y1,y2互为反函数，其图象关于y?x对称，设
A(x1,3?x1),B(x2,3?x2)?x1?3?x2 即x1?x2?3
六、联想斜率公式 例1. 求函数y?sinx?2的值域。
cosx?2y?y?y1sinx?2 的形式类似于斜率公式y?2cosx?2x2?x1 y?sinx?2表示过两点P0(2，?2)，P(cosx，sinx)的直线斜率
cosx?2 由于点P在单位圆x2?y2?1上，如图, 显然，kP0A?y?kP0B 设过P0的圆的切线方程为y?2?k(x?2) 则有|2k?2|k2?1?1，解得k??4±7?4?7?4?7 即kP0A?，kP0B?333∴?4?7?4?7?4?7?4?7?y?，] ∴函数值域为[3333例2、实系数方程x?ax?2b?0的一根在0和1之间，另一根在1和2之间，求
2b?2的取值范围。 a?1解：数形结合由
b?2b?2的结构特征，联想二次函数性质及的几何意义来求解，以形助数，则简洁明了。 a?1a?1b?0?f(0)?0???令f(x)?x2?ax?2b，则由已知有?f(1)?0得到?1?a?2b?0
?f(2)?0?2?a?b?0??这个二元一次不等式组的解为?ABC内的点(a,b)的集合由
b?2的几何意义为过点a?12
(a,b)和点D(1,2)的直线的斜率
由此可以看出：
b?211b?2?kAD??kBD?1即的取值范围是(,1)。
a?144a?1y22练习：如果实数x、y满足(x?2)?y?3，则的最大值为() 答案D
x A.12B.33C.32D.3
五、联想两点间的距离公式
2例1、设f(x)?1?x,a,b?R且a?b，求证：f(a)?f(b)?a?b
?a?b,不妨设a?b，解：构造如图的Rt?OAP，其中OP?1,OA?a,OB?b
22则PA?1?a?f(a),PB?1?b?f(b),AB?a?b
在Rt?OAP中，有PA?PB?AB?f(a)?f(b)?a?b 六、联想点到直线的距离公式
例1、已知P是直线3x?4y?8?0上的动点，PA,PB是x2?y2?2x?2y?1?0的两条切线，A,B是切点，C是圆心，求四边形PACB面积的最小值。
1?PA?AC?PA?PC2?1 2要使面积最小，只需PC最小，即定点C到定直线上动点P距离最小即可
解：?SPACB?2S?PAC?2?即点C(1,1)到直线3x?4y?8?0的距离，
而d?3?1?4?2?832?42?3 ?(SPACB)min?32?1?22
七、联想函数奇偶性
例1、设y?f(x)是定义在R上的奇函数，且y?f(x)的图象关于直线x?称，则f(1)?f(2)?f(3)?f(4)?f(5)?
解：本题由于y?f(x)不明确，故f(x)的函数值不好直接求解。若能联想到奇函数的性质，数形结合，以数助形来解决，则简洁明了。则可知f(0)?0，又且
1对2y?f(x)的图象关于直线x?1对称，?f(1)?0 2则奇函数可得：f(?1)?0，则又由对称性知：f(2)?0同理：f(3)?f(4)?f(5)?0
?f(1)?f(2)?f(3)?f(4)?f(5)?0
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